Là một chủ đề thú vị trong hình học, khi nói tới tứ giác nội tiếp đường tròn ta nghĩ ngay tới kiến thức quan trọng xuất hiện trong đề thi vào 10 của học sinh lớp 9. Ngoài ra, nó còn là công cụ toán học mạnh mẽ giải các bài tập hình học trong không gian ơ-clit. Muốn học tốt chủ đề này ta phải học từ đâu? Cùng theo dõi nhé
1. Tứ giác nội tiếp là gì?
Là tứ giác có 4 đỉnh nằm trên một đường tròn.
Hãy quan sát hình dưới đây:
Ta thấy các điểm A, B, C, D đều nằm trên đường tròn nên tứ giác ABCD gọi là nội tiếp đường tròn.
2. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn
Vậy làm sao biết được tứ giác nào đó có nội tiếp đường tròn hay không?
Để biết tứ giác có nội tiếp đường tròn hay không thì nó cần thỏa mãn 1 trong 4 dấu hiêu sau đây
- Dấu hiệu 1: 2 Góc đối diện bằng 180°.
- Dấu hiệu 2: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
- Dấu hiệu 3: Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm cố định (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
- Dấu hiệu 4: Tứ giác có hai đinh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α.
Chú ý: Trong các hình đã học thì hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân nội tiếp được đường tròn.
Giải thích
Giải thích dấu hiệu 1
Để chứng minh tính chất này, ta sử dụng định lý về góc nội tiếp chắn cung của đường tròn:
Góc nội tiếp chắn cung
- Góc nội tiếp$\widehat {BAC}$chắn cung \(BC\) có số đo bằng một nửa số đo cung đó:$\widehat {{\rm{BAC}}} = \frac{1}{2}{\rm{cung }}BC$
- Tương tự, góc$\widehat {BDC}$chắn cung \(BACD\) và:$\widehat {BDC} = \frac{1}{2}{\rm{cung }}BACD$
Tổng các cung
tổng số đo của hai cung \(BC\) và \(BACD\) là \(360^\circ\) vì chúng là hai cung bổ sung của đường tròn.
Tổng hai góc đối diện
Khi cộng hai góc đối diện trong tứ giác nội tiếp, ta có:
$\widehat {{\rm{BAD}}} + \widehat {{\rm{BDC}}} = \frac{1}{2}{\rm{cung }}BC + \frac{1}{2}{\rm{cung }}BACD$
– Bằng cách cộng hai góc này, ta thu được:
$\widehat {\rm{A}} + \widehat {\rm{C}} = \frac{1}{2}({\rm{cung }}BC + {\rm{cung }}BACD) = \frac{1}{2} \cdot {360^0} = {180^0}$
Giải thích dấu hiệu 2
Giả sử ta có một tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn. Khi đó, ta xét góc ngoài tại đỉnh \(A\) và góc trong tại đỉnh đối diện là \(C\).
- Góc ngoài tại đỉnh \(A\) là góc được tạo bởi kéo dài cạnh \(AB\) hoặc \(AD\). Giả sử ta kéo dài cạnh \(AD\) và gọi góc ngoài tại \(A\) là $\widehat {{\rm{DAE}}}$.
- Góc trong tại đỉnh đối diện \(C\) là góc $\widehat {{\rm{BCD}}}$
Tính chất của tứ giác nội tiếp đường tròn nói rằng: $\widehat {{\rm{DAE}}} = \widehat {{\rm{BCD}}}$
Để dễ hiểu hơn, ta có thể phân tích từng bước như sau:
– Trong tứ giác nội tiếp đường tròn, các góc ngoài bằng góc trong đối diện với nó.
– Cụ thể, nếu kéo dài cạnh \(AD\) của tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn, thì góc $\widehat {{\rm{DAE}}}$ (góc ngoài tại đỉnh \(A\)) sẽ bằng góc $\widehat {{\rm{BCD}}}$ (góc trong tại đỉnh đối diện \(C\)).
Chứng minh 1. Tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn có các góc nội tiếp bằng nhau:
$\widehat {{\rm{DAE}}}$ = $\widehat {{\rm{BCD}}}$
$\widehat {{\rm{ABD}}}$ = $\widehat {{\rm{ACD}}}$
2. Góc ngoài tại đỉnh \(A\) là $\widehat {{\rm{DAE}}}$ được tính bằng:
$\widehat {{\rm{DAE}}} = {180^0} – \widehat {{\rm{BAD}}}$
3. Tổng hai góc đối nhau trong tứ giác nội tiếp bằng \(180^\circ\):
$\widehat {{\rm{BAD}}} + \widehat {{\rm{BCD}}} = {180^0}$
4. Do đó, góc ngoài tại đỉnh \(A\) có thể viết lại như sau:
$\widehat {{\rm{DAE}}} = {180^0} – \widehat {{\rm{BAD}}} = \widehat {{\rm{BCD}}}$
Vậy là ta đã chứng mình được xong dấu hiệu 2.
Giải thích dấu hiệu 3
Giả sử tứ giác ABCD có bốn đỉnh cách đều một điểm cố định O. Điều này có nghĩa là các điểm A, B, C, và D đều nằm trên một đường tròn có tâm O và bán kính R nào đó.
Khoảng cách từ tâm đến các đỉnh Theo giả thiết, khoảng cách từ O đến A, B, C, và D đều bằng R, tức là: OA = OB = OC = OD = R
Tính chất đường tròn ngoại tiếp
- Vì O cách đều các đỉnh của tứ giác, đường tròn có tâm O và bán kính R đi qua cả bốn đỉnh A, B, C, và D.
- Do đó, tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn có tâm O và bán kính R.
Giải thích dấu hiệu 4
Tính chất của góc nội tiếp: Nếu một góc nội tiếp chắn một cung của đường tròn, thì góc này bằng một nửa số đo của cung đó.
Ứng dụng tính chất này vào góc α
- $\widehat {CAD} = \alpha $ và $\widehat {CBD} = \alpha $ cả hai góc này cùng chắn cung CD trong một đường tròn.
- Do đó, các điểm A, B, C, và D nằm trên một đường tròn (vì chúng có cùng góc nội tiếp chắn cung CD).
