Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Với kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy môn toán lớp 9 ở trường Trung Học Cơ Sở Đồng Khởi, bản thân thầy thấy rằng không ít học sinh sợ, hay lúng túng hoặc mắc sai lập đối với dạng toán liên quan tới rút gọn biểu thức có chứa căn, nhất là các em tham gia kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 bởi áp lục thời gian.

Với mong muốn học sinh khắc phục triệt để lỗi trên nên tôi viết bài Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai . Nội dung bài viết sẽ nói rõ:

• Kiến thức cũ cần nhớ
• Kiến thức mới cần hiểu
• Phương pháp giải

Ngoài ra, bài viết còn hướng dẫn kỹ năng giải thành thạo khi gặp các bài tập liên quan tới Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai.

Kiến thức của bài viết này được xây dựng bám sát chương trình sách giáo khoa của BGD&ĐT, nội dung được sắp xếp từ dễ tới khó nên học sinh sẽ dễ nhớ, dễ học và nhớ lâu.

A. Kiến thức cũ cần nhớ

Muốn biến đổi tốt thì kiến thức cũ về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ cần học sinh phải nhớ chính xác. Nếu em nhớ rồi có thể bỏ qua còn em chưa nhớ hãy xem dưới đây:

1. (A + B)² = A² + 2AB + B²
2. (A – B)² = A² – 2AB + B²
3. A² – B ² = (A – B )(A + B)
4. (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³
5. (A-B)³ = A³ – 3A²B + 3AB² – B³
6. A³ + B³= (A + B)(A² – AB + B² )
7. A³ – B³= (A – B)(A² + AB + B² )

Tiếp theo là khai căn bậc 2 quan trọng

1. $\sqrt A $ có nghĩa khi A ≥ 0
2. Khai căn của $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$
3. Khi A ≥ 0 và B ≥ 0 thì $\sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B $
4. Khi A ≥ 0 và B > 0 thì $\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$
5. Khi B ≥ 0 thì $\sqrt {{A^2}.B} = \left| A \right|.\sqrt B $
6. Khi A ≥ 0 và B ≥ 0 thì $A.\sqrt B = \sqrt {{A^2}.B} $
7. Khi A < 0 và B ≥ 0 thì $A.\sqrt B = – \sqrt {{A^2}.B} $
8. Khi A.B ≥ 0 và B ≠ 0 thì $\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{1}{{\left| B \right|}}.\sqrt {AB} $
9. Khi B> 0 thì $\frac{A}{{\sqrt B }} = \frac{1}{B}.A\sqrt B $
10. Khi A ≥ 0 và A ≠ B² thì $\frac{C}{{\sqrt A \pm B}} = \frac{{C\left( {\sqrt A \mp B} \right)}}{{A – {B^2}}}$
11. Khi A ≥ 0; B ≥ 0 và B ≠ A thì  $\frac{C}{{\sqrt A \pm \sqrt B }} = \frac{{C\left( {\sqrt A \mp \sqrt B } \right)}}{{A – B}}$

B. Phân dạng toán

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức

Ví dụ 1.1: Với x > 0, hãy tính giá trị của biểu thức $Q = \frac{{\sqrt x + 2}}{{1 + \sqrt x }}$. Biết rằng

a) x = 4

b) x = 9

c) x = 16

d) x = 25

Lời giải

a) Ta thấy x = 4 > 0, thỏa mãn điều kiện nên thay vào biểu thức Q:

$Q = \frac{{\sqrt 4 + 2}}{{1 + \sqrt 4 }} = \frac{{2 + 2}}{{1 + 2}} = \frac{4}{3}$

Đáp án: $Q = \frac{4}{3}$

b) Ta thấy x = 9 > 0, thỏa mãn điều kiện nên thay vào biểu thức Q:

$Q = \frac{{\sqrt 9 + 2}}{{1 + \sqrt 9 }} = \frac{{3 + 2}}{{1 + 3}} = \frac{5}{4} = 1.25$

Đáp án: Q = 1,25

c) Ta thấy x = 16 > 0, thỏa mãn điều kiện nên thay vào biểu thức Q:

$Q = \frac{{\sqrt {16} + 2}}{{1 + \sqrt {16} }} = \frac{{4 + 2}}{{1 + 4}} = \frac{6}{5} = 1,2$

Đáp án: Q = 1,2

d) Ta thấy x = 25 > 0, thỏa mãn điều kiện nên thay vào biểu thức Q:

$Q = \frac{{\sqrt {25} + 2}}{{1 + \sqrt {25} }} = \frac{{5 + 2}}{{1 + 5}} = \frac{7}{6}$

Đáp án: $Q = \frac{7}{6}$

Qua 4 ví dụ trên em đều thấy dễ đúng không nào, gặp dạng toán này thì em cứ làm tương tự nha, chỉ cần thay giá trị của x vào biểu thức và khai phương là ra thôi.

Giờ ta sang dạng toán số 2 nào

Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Ví dụ 2.1: Hãy rút gọn biểu thức sau

a) $Q = \sqrt {4x} – \sqrt {9x} + \sqrt {25x} $

b) $Q = \sqrt {x – 1} – \sqrt {4\left( {x – 1} \right)} + \sqrt {9\left( {x – 1} \right)} $

c) $Q = 2\sqrt {7x} + \frac{1}{4}.\sqrt {28x} – \frac{1}{5}\sqrt {63x} + \frac{1}{{10}}\sqrt {343x} + 8$

Lời giải

a) Để căn thức có nghĩa thì điểu kiện trong căn phải lớn hơn hoặc bằng không nghĩa là x ≥ 0, khi đó ta có

$\begin{array}{l} Q = \sqrt {4x} – \sqrt {9x} + \sqrt {25x} \\ = 2\sqrt x – 3\sqrt x + 5\sqrt x \\ = 4\sqrt x \end{array}$

Đáp án: $Q = 4\sqrt x $ với x ≥ 0

b) Để căn thức có nghĩa thì điểu kiện trong căn phải lớn hơn hoặc bằng không nghĩa là x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1, khi đó ta có

$\begin{array}{l} Q = \sqrt {x – 1} – \sqrt {4\left( {x – 1} \right)} + \sqrt {9\left( {x – 1} \right)} \\ = \sqrt {x – 1} – 2\sqrt {\left( {x – 1} \right)} + 3\sqrt {\left( {x – 1} \right)} \\ = 2\sqrt {x – 1} \end{array}$

Đáp án: $Q = 2\sqrt {x – 1} $với x ≥ 1

c) Điều kiện căn thức có nghĩa là x ≥ 0, khi đó biểu thức Q sẽ là

$\begin{array}{l} Q = 2\sqrt {7x} + \frac{1}{4}.\sqrt {28x} – \frac{1}{5}\sqrt {63x} + \frac{1}{{10}}\sqrt {343x} + 8\\ = 2\sqrt {7x} + \frac{1}{4}.\sqrt {4.7x} – \frac{1}{5}\sqrt {9.7x} + \frac{1}{{10}}\sqrt {49.7x} + 8\\ = 2\sqrt {7x} + \frac{2}{4}.\sqrt {7x} – \frac{3}{5}\sqrt {7x} + \frac{9}{{10}}\sqrt {7x} + 8\\ = \frac{{14}}{5}.\sqrt {7x} + 8 \end{array}$

Đáp án: Khi x ≥ 0 thì  $ Q = \frac{{14}}{5}.\sqrt {7x} + 8$

Ví dụ 2.1: Hãy Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai dưới đây

a) $A = 5\sqrt {{x^2} + 4x + 4} + 4\sqrt {{x^2} – 4x + 4} $

b) $B = 3 – x – \sqrt {25 – 20x + 4{x^2}} $

Lời giải

a) Từ kiến thức cũ về bảy hằng đẳng thức đáng nhớ ta suy ra:

• ${x^2} + 4x + 4 = {x^2} + 2.2x + {2^2} = {\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0$
• ${x^2} – 4x + 4 = {x^2} – 2.2x + {2^2} = {\left( {x – 2} \right)^2} \ge 0$

Khi đó biểu thức A sẽ biến đổi thành

$\begin{array}{l} A = 5\sqrt {{x^2} + 4x + 4} + 4\sqrt {{x^2} – 4x + 4} \\ = 5\sqrt {{{\left( {x – 2} \right)}^2}} + 4\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \\ = 5\left| {x – 2} \right| + 4\left| {x + 2} \right| \end{array}$

Trường hợp 1: $x \ge 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x – 2 \ge 0 \Rightarrow \left| {x – 2} \right| = x – 2\\ x + 2 > 0 \Rightarrow \left| {x + 2} \right| = x + 2 \end{array} \right.$

Lúc này biểu thức: $A = 5.\left( {x – 2} \right) + 4\left( {x + 2} \right) = 9x – 2$

Trường hợp 2: $ – 2 \le x < 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x – 2 < 0 \Rightarrow \left| {x – 2} \right| = – \left( {x – 2} \right)\\ x + 2 \ge 0 \Rightarrow \left| {x + 2} \right| = x + 2 \end{array} \right.$

Lúc này biểu thức: $A = – 5\left( {x – 2} \right) + 4\left( {x + 2} \right) = 18 – x$

Trường hợp 3: $x < – 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x – 2 < 0 \Rightarrow \left| {x – 2} \right| = – \left( {x – 2} \right)\\ x + 2 < 0 \Rightarrow \left| {x + 2} \right| = – \left( {x + 2} \right) \end{array} \right.$

Khi này: $A = – 5\left( {x – 2} \right) – 4\left( {x + 2} \right) = 2 – x$

Kết Luận:

• Với x ≥ 2  thì A = 9x – 2
• Với – 2 ≤ x < 2 thì A = 18 – x
• Với x < – 2 thì A = 2 – x

b) Ta bắt đầu tìm hiểu trong căn trước

$\begin{array}{l} 25 – 20x + 4{x^2}\\ = {5^5} – 20x + {2^2}.{x^2}\\ = {5^5} – 2.5.2x + {\left( {2x} \right)^2}\\ = {\left( {5 – 2x} \right)^2} \ge 0 \end{array}$

Khi đó biểu thức tương ứng $\begin{array}{l} B = 3 – x – \sqrt {{{\left( {5 – 2x} \right)}^2}} \\ = 3 – x – \left| {5 – 2x} \right| \end{array}$

Biện luận

Trường hợp 1: $5 – 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 2,5$ khi đó: $B = 3 – x – \left( {5 – 2x} \right) = x – 2$

Trường hợp 2: $5 – 2x < 0 \Leftrightarrow x > 2,5$ khi đó: $B = 3 – x + \left( {5 – 2x} \right) = 8 – 3x$

Kết luận

• x ≤ 2,5 thì B = x – 2
• x > 2.5 thì B = 8 – 3x

Dạng 3: Tìm các giá trị của x để Q(x) = m hoặc Q(x) = A(x)

Ví dụ 3.1: Cho biểu thức $Q\left( x \right) = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}$

a) Tìm các giá trị của x để Q(x) = 1

b) Tìm các giá trị của x để Q(x) = $\frac{{\sqrt x }}{2}$

Lời giải

a) Để Q(x) có nghĩa khi x ≥ 0

Khi đó

$\begin{array}{l} \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} = 1\\ \Leftrightarrow 2\sqrt x = \sqrt x + 3\\ \Leftrightarrow \sqrt x = 3\\ \Leftrightarrow x = {3^2} = 9 \end{array}$

Kết Luận: Để Q(x) = 1 khi x = 9

b) Để Q(x) có nghĩa khi x ≥ 0

Khi đó

$\begin{array}{l} \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{\sqrt x }}{2}\\ \Leftrightarrow 4\sqrt x = \sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right) – 4\sqrt x = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x – 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sqrt x = 0\\ \sqrt x – 1 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array}$

Kết Luận: Để Q(x) = $\frac{{\sqrt x }}{2}$ thì x = 0 hoặc x = 1

Ví dụ 3.2: Cho hai biểu thức $Q\left( x \right) = \frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 5}}$ và $P\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt x + 5}}$

a) Khi x = 9 thì giá trị Q(x) và P(x) bằng bao nhiêu?

b) Khi Q(x) = 2 thì x bằng bao nhiêu?

c) Khi P(x) = 4 thì x bằng bao nhiêu?

d) Tìm x để 2Q = P.(x – 4)

Lời giải

Để P(x) và Q(x) có nghĩa thì giá trị trong căn lớn hơn hoặc bằng không nghĩa là x ≥ 0

a) Khi x = 9 thì

$Q\left( x \right) = \frac{{\sqrt 9 – 1}}{{\sqrt 9 + 5}} = \frac{{3 – 1}}{{3 + 5}} = \frac{1}{4}$

$P\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt x + 5}} = \frac{2}{{\sqrt 9 + 5}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Kết luận: Khi x = 9 thì Q(x) $ = \frac{1}{4}$ và P(x) $ = \frac{1}{4}$

b) Khi Q(x) = 2 nghĩa là

$\begin{array}{l} \frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 5}} = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt x – 1 = 2\left( {\sqrt x + 5} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt x – 1 = 2\sqrt x + 10\\ \Leftrightarrow \sqrt x = – 11 \end{array}$

Nhận xét: Vế trái luôn dương trong khi vế phải nhỏ hơn không nên ta không tìm được giá trị nào của x để Q(x) = 2

c) Khi P(x) = 4 nghĩa là

$\begin{array}{l} P\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt x + 5}} = 4\\ \Leftrightarrow 2 = 4\left( {\sqrt x + 5} \right)\\ \Leftrightarrow 2 = 4\sqrt x + 20\\ \Leftrightarrow 2\sqrt x = – 9 \end{array}$

Nhận xét: Vế trái luôn dương trong khi vế phải nhỏ hơn không nên ta không tìm được giá trị nào của x để P(x) = 4

d) 2Q = P.(x – 4)

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2.\frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 5}} = \frac{2}{{\sqrt x + 5}}.\left( {x – 4} \right)\\ \Leftrightarrow 2.\left( {\sqrt x – 1} \right) = 2\left( {x – 4} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt x – 1 = x – 4\\ \Leftrightarrow \sqrt x = x – 3\\ \Leftrightarrow x = {\left( {x – 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow x = {x^2} – 6x + 9\\ \Leftrightarrow {x^2} – 7x + 9 = 0 \end{array}$

Tới đây ta có nhiều cách giải tuy nhiên ta giải theo phương pháp truyền thống là dùng biệt thức delta

$\Delta = {\left( { – 7} \right)^2} – 4.1.9 = 13$

Ta thấy $\sqrt \Delta = \sqrt {13} > 0$

Vậy phương trình bậc hai trên có 2 nghiệm là ${x_1} = \frac{{7 – \sqrt {13} }}{2}$ và ${x_2} = \frac{{7 + \sqrt {13} }}{2}$

Kết luận: Để 2Q = P.(x – 4) thì ${x_1} = \frac{{7 – \sqrt {13} }}{2}$ và ${x_2} = \frac{{7 + \sqrt {13} }}{2}$

Dạng 4: Tìm các giá trị của x để P ≥ m (P ≤ m; P < m; P > m).

Ví dụ 3.2: Cho biểu thức $Q = \frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}}$

a) Với x = 1 thì giá trị của Q bằng bao nhiêu?

b) Với giá trị nào của x để Q ≥ 0,5?

c) Với giá trị nào của x để Q ≤ 0,25?

Lời giải

Để Q(x) có giá trị khi x ≥ 0

a) Với x = 1 thì $Q = \frac{{\sqrt 1 – 1}}{{\sqrt 1 + 1}} = 0$

b) Để Q ≥ 0,5 khi

$\begin{array}{l} \frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}} \ge 0,5\\ \Leftrightarrow \sqrt x – 1 \ge 0,5\left( {\sqrt x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2\sqrt x – 2 \ge \sqrt x + 1\\ \Leftrightarrow \sqrt x \ge 3\\ \Leftrightarrow x \ge 9 \end{array}$

Kết Luận: Để Q ≥ 0,5 thì x ≥ 9

c) Q ≤ 0,25 khi

$\begin{array}{l} \frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}} \le 0,25\\ \frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}} \le \frac{1}{4}\\ 4\left( {\sqrt x – 1} \right) \le \sqrt x + 1\\ \Leftrightarrow \sqrt x \le \frac{5}{3}\\ \Leftrightarrow x \le \frac{{25}}{9} \end{array}$

Kết luận: Dựa vào điều kiện để Q(x) có giá trị khi x ≥ 0 nên

Q ≤ 0,25 ⇔ $0 \le x \le \frac{{25}}{9}$

Ví dụ 3.3: Cho biểu thức $Q = \frac{{x + 1}}{{\sqrt x }}$

a) Với x = 1 thì Q(x) bằng bao nhiêu?

b) Với x > 0 thì Q ≥ 2

Lời giải

a) Với x = 1 thì $Q = \frac{{1 + 1}}{{\sqrt 1 }} = 2$

b) Đặt P(x) = Q(x) – 2 (*)

Khi đó

$\begin{array}{l} P\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{\sqrt x }} – 2\\ = \frac{{x + 1 – 2\sqrt x }}{{\sqrt x }}\\ = \frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} – 2\sqrt x + {1^2}}}{{\sqrt x }}\\ = \frac{{{{\left( {\sqrt x – 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x }} \end{array}$

Ta thấy với x > 0 thì P(x) ≥ 0 (**)

Từ biểu thức (*) và (**), ta suy ra Q(x) – 2 ≥ 0 ⇔Q(x) ≥ 2 (Điều cần chứng minh)

Ví dụ 3.4: Cho biểu thức $P = \frac{{2\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}}$, với x ≥0 và x ≠ 4.

a) Tìm P khi biết x = 1

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

Lời giải

a) Với x = 1 thì $P = \frac{{2\sqrt 1 – 1}}{{\sqrt 1 + 1}} = \frac{1}{2}$

b)  Ta có

$\begin{array}{l} P = \frac{{2\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}}\\ = \frac{{2\sqrt x + 2 – 2 – 1}}{{\sqrt x + 1}}\\ = \frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right) – 3}}{{\sqrt x + 1}}\\ = 2 – \frac{3}{{\sqrt x + 1}}\left( 1 \right) \end{array}$

Nhận xét:

$\begin{array}{l} x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x \ge 0\\ \Rightarrow \sqrt x + 1 \ge 1\\ \Rightarrow \frac{3}{{\sqrt x + 1}} \le \frac{3}{1}\\ \Leftrightarrow y = \frac{3}{{\sqrt x + 1}} \le 3\left( 2 \right) \end{array}$

Ta thấy:

$\begin{array}{l} \Rightarrow {y_{\max }} = \frac{3}{{\sqrt x + 1}} = 3\\ \Rightarrow {P_{\min }} = 2 – {y_{\max }} = 2 – 3 = – 1 \end{array}$

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của P_min = – 1

Ví dụ 3.5: Cho phương trình dạng $\frac{{{y^2}}}{8} + {x^2} + \frac{8}{{{x^2}}} = 8$, với x ≠ 0; y ≠ 0.

a) Tìm giá trị của y khi biết x = 2

b) Tìm giá trị của y khi biết x = 1

b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức B = xy + 2024

Lời giải

a) Khi x = 2 thì

$\begin{array}{l} \frac{{{y^2}}}{8} + {2^2} + \frac{8}{{{2^2}}} = 8\\ \Leftrightarrow \frac{{{y^2}}}{8} = 2\\ \Leftrightarrow {y^2} = 16\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y = 4\\ y = – 4 \end{array} \right. \end{array}$

Kết luận: Khi x = 2 thì tìm được 2 giá trị của y là y = 4 và y = – 4.

b) Khi x = 1 thì

$\begin{array}{l} \frac{{{y^2}}}{8} + {1^2} + \frac{8}{{{1^2}}} = 8\\ \Leftrightarrow \frac{{{y^2}}}{8} = – 1\\ \Leftrightarrow {y^2} = – 8 \end{array}$

Nhận xét: Không tìm được giá trị của y thỏa mã trường hợp x = 1.

c)

Trường hợp 1: Tìm giá trị nhỏ nhất:

$\begin{array}{l} \frac{{{y^2}}}{8} + {x^2} + \frac{8}{{{x^2}}} = 8\\ VT = \frac{{{y^2}}}{8} + {x^2} + \frac{8}{{{x^2}}}\\ = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{y^2}}}{4} + 2{x^2} + \frac{{16}}{{{x^2}}}} \right)\\ = \frac{1}{2}.\left[ {{{\left( {\frac{y}{2}} \right)}^2} + 2{x^2} + {{\left( {\frac{4}{x}} \right)}^2}} \right]\\ = \frac{1}{2}.\left[ {\left( {{{\left( {\frac{y}{2}} \right)}^2} + 2.\frac{y}{2}.x + {x^2}} \right) – xy + 8 + \left( {{x^2} – 2.x.\frac{4}{x} + {{\left( {\frac{4}{x}} \right)}^2}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}.\left[ {{{\left( {\frac{y}{2} + x} \right)}^2} – xy + 8 + {{\left( {x – \frac{4}{x}} \right)}^2}} \right] \end{array}$

Nhận xét: ${\left( {\frac{y}{2} + x} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {x – \frac{4}{x}} \right)^2} \ge 0$

Vậy $VT \ge \frac{1}{2}.\left( {8 – xy} \right)$

$VT = \frac{{{y^2}}}{8} + {x^2} + \frac{8}{{{x^2}}} \ge \frac{1}{2}.\left( {8 – xy} \right)$

$ \Rightarrow 8 \ge \frac{1}{2}.\left( {8 – xy} \right) \Leftrightarrow xy \ge – 8$

Giá trị nhỏ nhất khi xy = 8, hay B = – 8 + 2024 = 2016

Trường hợp 2: Tìm giá trị lớn nhất

$\begin{array}{l} VT = \frac{{{y^2}}}{8} + {x^2} + \frac{8}{{{x^2}}}\\ = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{y^2}}}{4} + 2{x^2} + \frac{{16}}{{{x^2}}}} \right)\\ = \frac{1}{2}.\left[ {{{\left( {\frac{y}{2}} \right)}^2} + 2{x^2} + {{\left( {\frac{4}{x}} \right)}^2}} \right]\\ = \frac{1}{2}.\left[ {\left( {{{\left( {\frac{y}{2}} \right)}^2} – 2.\frac{y}{2}.x + {x^2}} \right) + xy + 8 + \left( {{x^2} – 2.x.\frac{4}{x} + {{\left( {\frac{4}{x}} \right)}^2}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}.\left[ {{{\left( {\frac{y}{2} – x} \right)}^2} + xy + 8 + {{\left( {x – \frac{4}{x}} \right)}^2}} \right] \end{array}$

Ta thấy: ${\left( {\frac{y}{2} – x} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {x – \frac{4}{x}} \right)^2} \ge 0$

Khi đó $VT \ge \frac{1}{2}.\left( {xy + 8} \right)$

Tương ứng

$\begin{array}{l} 8 \ge \frac{1}{2}.\left( {xy + 8} \right)\\ \Leftrightarrow 16 \ge xy + 8\\ \Leftrightarrow xy \le 8 \end{array}$

Nhận xét: Ta thấy xy đạt giá lớn nhất khi xy_max = 8

Vậy B_max = 8 + 2024 = 2032

Trên đây là toàn bộ những chia sẻ của tôi về chủ đề Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai. Học sinh mà tôi hướng tới là đại trà, học sinh có kiến thức yếu về toán nên những ví dụ tương đối đơn giản. Các em học giỏi có thể liện hệ với tôi để nhận các bài tập nâng cao ứng với dạng toán trên. Trong quá trình viết không thể tránh được những sơ suất nên mong sự góp ý từ các đồng nghiệp, học sinh để bài viết chuẩn hơn. Ngoài ra bạn có thể rèn luyện cách giải bài tập rút gọn biểu thức ở buối trước ta đã học. Bài giảng tới đây kết thúc hẹn gặp lại bạn ở video tiếp theo. Tôi xin chân thành cảm ơn!