Nói tới hệ phương trình là nói tới chủ đề khó tuy nhiên không thể bỏ được trừ khi ta không học tiếp nữa. Tuy nói vui nhưng đó là thức tế, không thể bỏ được. Nhiều học sinh giải được hệ nhưng loay hoay mất thời gian dẫn tới làm có ra cơ mà trình bày không mạch lạc làm mất thời gian, mất điểm rồi dẫn tới mất cơ hội đạt điểm cao! Nói rõ vậy để mọi người hiểu là cần học có phương pháp chủ đề này.
Muốn thí sinh hết loay hoay, rút ngắn thời gian, đạt điểm tối đa câu giải hệ phương trình này nên tôi đã viết bài Phương pháp giải hệ phương trình từ a tới z. Nghĩa là bài viết này sẽ cung cấp cho bạn
- Kiến thức căn bản cần nhớ
- Các cách giải hệ phương trình
- Ví dụ dễ hiểu
- Cách trình bày mạch lạc theo một công thức
- Tất nhiên là nội dung thì bám sát sách giáo khoa, khung bám sát khung tuyển sinh vào lớp 10 của các sở giáo dục và đào tạo.
Chúng ta bắt đầu vào chủ đề bài hôm nay
Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Ví dụ 1.1: Hãy giải hệ phương trình sau
a) $\left\{ \begin{array}{l} x + y = 0\\ 2x – y = 1 \end{array} \right.$
b) $\left\{ \begin{array}{l} 3x + 2y = 4\\ 2 – y = 0 \end{array} \right.$
c) $\left\{ \begin{array}{l} 3x + 2y + 1 = 0\\ 3y + 2x – 1 = 0 \end{array} \right.$
Lời giải
a) Bài hệ này ta dùng phương pháp thế
Gọi phương trình trên là (1) và dưới là (2): $\left\{ \begin{array}{l} x + y = 0\left( 1 \right)\\ 2x – y = 1\left( 2 \right) \end{array} \right.$
Từ (1): $x + y = 0 \Leftrightarrow x = – y\left( 3 \right)$
Tiến hành thế (3) vào (1), ta được:
$\begin{array}{l} 2.\left( { – y} \right) – y = 1\\ \Leftrightarrow – 3y = 1\\ \Leftrightarrow y = – \frac{1}{3}\left( 4 \right) \end{array}$
Tiến hành thế (4) vào (3) ta được: $x = – \left( { – \frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{3}$
Kết luận: Hệ phương trình trên có: $x = \frac{1}{3}$ và $y = – \frac{1}{3}$
b) Ta giải hệ này bằng phương pháp thế
Để thuận tiện ta gọi lần lượt phương trình trên (1) và dưới là (2): $\left\{ \begin{array}{l} 3x + 2y = 4\left( 1 \right)\\ 2 – y = 0\left( 2 \right) \end{array} \right.$
Từ biểu thức (2): 2 – y = 0 ⇔y = 2(3)
Thế y = 2 vào (1), ta được: 3x + 2.2 = 4 ⇔ x = 0
Kết luận: Hệ phương trình này có nghiệm là x = 0 và y = 2
c) Giải hệ này bằng phương pháp thế
Gọi các phương trình trên (1) và dưới là (2): $\left\{ \begin{array}{l} 3x + 2y + 1 = 0\left( 1 \right)\\ 3y + 2x – 1 = 0\left( 2 \right) \end{array} \right.$
Từ phương trình (1): $\begin{array}{l} 3x + 2y + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2y = – 3x – 1\\ \Leftrightarrow y = \frac{{ – 3x – 1}}{2}\left( 3 \right) \end{array}$
Thế (3) vào (2):
$\begin{array}{l} 3.\frac{{ – 3x – 1}}{2} + 2x – 1 = 0\\ \Leftrightarrow – 9x – 3 + 4x – 2 = 0\\ \Leftrightarrow – 5x – 5 = 0\\ \Leftrightarrow x = – 1 \end{array}$
Thế x = 1 vào (3): $y = \frac{{ – 3.1 – 1}}{2} = – 2$
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là x = 1 và y = -2
Dạng 2: Giải hệ bằng phương pháp cộng đại số
Ví dụ 2.1: Hãy giải hệ phương trình sau
a) $\left\{ \begin{array}{l} x – y = 2\\ – x – 2y = 4 \end{array} \right.$
b) $\left\{ \begin{array}{l} 3x – y = – 1\\ – x – y = 4 \end{array} \right.$
Lời giải
a) Gọi phương trình trên (1) và phương trình dưới là (2): $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x – y = 2\left( 1 \right)}\\ { – x – 2y = 4\left( 2 \right)} \end{array}} \right.$
Ta lấy vế phải của (1) cộng với vế phải của (2), đồng thời vế trái (1) cộng với vế trái của (2).
Khi đó: 0 – 3y = 6 ⇔y = – 2
Thế ngược y = – 2 vào (1), ta được: x – ( – 2) = 2 ⇔x = 0
Kết Luận: Hệ phương trình có nghiệm là x = 0 và y = – 2
b) Gọi phương trình trên (1) và phương trình dưới là (2): $\left\{ \begin{array}{l} 3x – y = – 1\left( 1 \right)\\ – x – y = 4\left( 2 \right) \end{array} \right.$
Ta lấy vế phải (1) trừ vế phải (2) và vế trái (1) trừ vế trái (2):
[3x – ( – x)] + [- y – (- y)] = – 1 – 4
⇔4x + 0 = – 5
⇔$x = – \frac{5}{4}$(3)
Thế (3) vào (1): $\begin{array}{l} 3.\left( { – \frac{5}{4}} \right) – y = – 1\\ \Leftrightarrow – \frac{{15}}{4} – y = – 1\\ \Leftrightarrow y = – \frac{{11}}{4} \end{array}$
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là $\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{ – 5}}{4};\frac{{ – 11}}{4}} \right)$
Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ
Ví dụ 3.1: Hãy giải hệ phương trình sau
a) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 4\\ \frac{3}{x} – \frac{2}{y} = 8 \end{array} \right.$
b) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{x – 1}} + \frac{2}{{y + 1}} = \frac{1}{4}\\ \frac{8}{{x – 1}} – \frac{{15}}{{y + 1}} = 1 \end{array} \right.$
Lời giải
a) Điều kiện là x ≠ 0 và y ≠ 0
Để đưa về hệ phương trình cơ bản ta đặt ngay $m = \frac{1}{x}$ và $n = \frac{1}{y}$
Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l} m + 2n = 4\left( 1 \right)\\ 3m – 2n = 8\left( 2 \right) \end{array} \right.$
Tới đây ta thấy hệ phương trình về căn bản với ẩn m và n đúng không nào. Hệ này ta tiến hành dùng phương pháp cộng đại số các vế cho nhau
(1) + (2): m + 3m + (2n – 2n) = 4 +8
⇔4m = 12
⇔m = 3 (3)
Thế giá trị m vào (1), ta có: 3 + 2n = 4 ⇔n = 1/2
Khi đã biết giá trị của m và n thì ta thế ngược lại để tìm x và y: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3 = \frac{1}{x}}\\ {\frac{1}{2} = \frac{1}{y}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{1}{3}\\ y = 2 \end{array} \right.$
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là x = 1/3 và x = 2.
b) Điều kiện
- x – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1
- y + 1 ≠ 0 ⇔ y ≠ – 1
Ta thấy, bài toán này muốn giải được cần đưa về hệ cơ bản. Ta dùng phương pháp đặt:
- $m = \frac{1}{{x – 1}}$ (1)
- $n = \frac{1}{{y + 1}}$ (2)
Khi đó hệ phương trình thành: $\left\{ \begin{array}{l} m + 2n = \frac{1}{4}\left( 1 \right)\\ 8m – 15n = 1\left( 2 \right) \end{array} \right.$
Tới đây, ta đã đưa được về phương trình cơ bản và có thể dùng phương pháp thể hoặc phương pháp cộng đại số. Tôi sẽ sử dụng phương pháp thế:
Từ (1): $m = \frac{1}{4} – 2n$ (3)
Tiến hành thế (3) vào (2), ta được:
$\begin{array}{l} 8.\left( {\frac{1}{4} – 2n} \right) – 15n = 1\\ \Leftrightarrow 2 – 16n – 15n = 1\\ \Leftrightarrow n = \frac{1}{{31}}\left( 4 \right) \end{array}$
Giờ ta thế ngược (4) lại (3): $m = \frac{1}{4} – 2.\frac{1}{{31}} = \frac{{23}}{{124}}$ (5)
Giờ để tìm x và y thì ta thế ngược lại m và na vào chỗ đặt trước đó
- Từ (1) và (5): $\frac{{23}}{{124}} = \frac{1}{{x – 1}} \Leftrightarrow x = \frac{{124}}{{23}} + 1 = \frac{{147}}{{23}}$
- Từ (2) và (4): $\frac{1}{{31}} = \frac{1}{{y + 1}} \Leftrightarrow y = 31 – 1 = 30$
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là ${x = \frac{{147}}{{23}};y = 30}$
Bài tập tự luyện
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
a) $\left\{ \begin{array}{l} – 2x + 3y = 5\\ 4x – 3y = – 1 \end{array} \right.$
b) $\left\{ \begin{array}{l} x – 2y = 2\\ 2x – 4y = 4 \end{array} \right.$
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau
a) $\left\{ \begin{array}{l} x + \sqrt 7 y = – 2\sqrt 3 \\ – 2x – 2\sqrt 7 y = \sqrt {11} \end{array} \right.$
b) $\left\{ \begin{array}{l} {\rm{3}}\sqrt {\rm{5}} x – 4y = 15 – 2\sqrt 7 \\ – 2\sqrt 5 x + 8\sqrt 7 y = 18 \end{array} \right.$
c) $\left\{ \begin{array}{l} x\sqrt 2 + \frac{1}{2}y = 2 + 3\sqrt 2 \\ 3x + \left( {1 – \sqrt 2 } \right)y = – 1 \end{array} \right.$
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
a. $\left\{ \begin{array}{l} 2(x + y) + 3(x – y) = 4\\ (x + y) + 2(x – y) = 5 \end{array} \right.$
b. $\left\{ \begin{array}{l} (x + y)(x – 1) = (x – y)(x + 1) + 2(xy + 1)\\ (y – x)(y + 1) = (y + x)(y – 2) – 2xy \end{array} \right.$
c. $\left\{ \begin{array}{l} \frac{{3x + 2}}{3} + \frac{{y – 1}}{2} = 1\\ \frac{{4x + y}}{4} + \frac{{y + 1}}{2} = – 3 \end{array} \right.$
d. $\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{2}x + \frac{2}{3}y = 7\\ \frac{5}{3}x – \frac{3}{2}y = 1 \end{array} \right.$
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau
a) $\left\{ \begin{array}{l} y – 2\left| x \right| – 3 = 0\\ – \left| y \right| + x + 3 = 0 \end{array} \right.$
b) $\left\{ \begin{array}{l} \left| {x + y} \right| = 2\\ \left| x \right| + \left| y \right| = 2 \end{array} \right.$
c) $\left\{ \begin{array}{l} \left| {x + 1} \right| – \left| {y – 2} \right| = 4\\ \left| {x + 1} \right| + 2 = 2y \end{array} \right.$
Bài 4: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} 2mx + y = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\ 8x + my = m + 2\,\,\,(2) \end{array} \right.$ (m là tham số)
1. Giải và biện luận hệ phương trình đã cho theo m
2. Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( x;y \right)$
a) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m
b) Tìm giá trị của m để $4x+3y=7$
Bài 5: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x + 2y = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\ mx – y = m\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \end{array} \right.$ (m là tham số)
1. Giải và biện luận hệ phương trình đã cho theo m.
2. Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( x;y \right)$
a. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m
b. Tìm điều kiện của m để $x>1$ và $y>0$
Bài 6: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} 3x + 2y = 4\,\,\,\,\,\,\,(1)\\ 2x – y = m\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \end{array} \right.$ (m là tham số)
a. Giải hệ phương trình khi $m=5$
b. Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm $x,y<1$
c. Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng $3x+2y=4;\,\,2x-y=m$ và $x+2y=3$ đồng quy.
Bài 7: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} mx + 2my = m + 1\,\,\,\,\,\,(1)\\ x + (m + 1)y = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \end{array} \right.$ (m là tham số)
a. Giải và biện luận hệ phương trình đã cho
b. Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( x;y \right)$, gọi $M\left( x;y \right)$ là điểm tương ướng với nghiệm $\left( x;y \right)$ của hệ phương trình
– Chứng minh $M$ luôn nằm trên đường thẳng cố định khi m thay đổi
– Tìm các giá trị của m để $M$ thuộc góc phần tư thứ nhất
– Xác định giá trị của m để $M$ thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng $\sqrt{5}$
Bài 8: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} mx + 4y = 10 – m\\ x + my = 4 \end{array} \right.\left( I \right)$ (m là tham số)
a. Giải hệ phương trình với $m=1$
b. Tìm m để hệ phương trình $\left( I \right)$ có nghiệm duy nhất $\left( x;y \right)$ thỏa mãn $x=y$
c. Tìm m để hệ phương trình $\left( I \right)$ có nghiệm duy nhất $\left( x;y \right)$ sao cho $S={{\left( x+y \right)}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất
d. Tìm m để hệ phương trình $\left( I \right)$ có nghiệm duy nhất $\left( x;y \right)$ sao cho $xy>0$
e. Tìm m nguyên để hệ phương trình $\left( I \right)$ có nghiệm duy nhất $\left( x;y \right)$ sao cho $x,y$ nguyên.
f. Khi hệ phương trình $\left( I \right)$ có nghiệm duy nhất $\left( x;y \right)$ hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x và y mà không phụ thuộc vào giá trị của m
Trên đây là toàn bộ những chia sẻ về phương pháp giải hệ phương trình mà bạn cần nhớ. Cũng là buổi thứ 2 trong chuyên để ôn thi vào lớp 10. Hy vọng bài viết này thực sự hữu ích với bạn. Hãy đón xem bài viết thứ 3 trong tuyển tập bài viết ôn thi vào 10 bậc THPT.
