Là một trong những hàm số đơn giản thuộc toán lớp 9, hàm số bậc nhất thuộc kiến thức tưởng chừng đơn giản nhưng khiến rất nhiều em học sinh mất điểm do chủ quan khi làm bài thi cũng như bài tập trên lớp. Bời vậy, THCSDH biên soạn bài phân dạng hàm số bậc nhất giúp các em khắc phục tình trạng trên. Nội dung bài viết
- Tóm tắt lý thuyết
- Phân dạng bài tập
- Ví dụ minh hoa
- Bài tập rèn luyện có đáp án
Chúng ta bắt đầu vào bài tập hôm nay
I. Lý thuyết hàm số bậc nhất
1. Hàm số nào là hàm số bậc nhất?
Hàm số có dạng tổng quát là y = ax + b (1)
- với a, b là 2 số đã cho trước
- $a\ne 0$
Thì (1) được gọi là hàm số bậc nhất.
Trường hợp đặc biệt: Nếu như b = 0 thì công thức hàm số bậc nhật (1) sẽ có dạng y = ax. Nghĩa là y tỉ lệ thuận với x theo hệ số a cho trước.
2. Các tính chất của hàm số bậc nhất
Với mọi giá giá trị của x thuộc R thì hàm số bậc nhất $y=ax+b$ luôn xác định
– Hàm số bậc nhất:
- Đồng biến trên $R$ khi $a>0$
- Nghịch biến trên $R$ khi $a<0$
Ta có thể tóm lược các tính chất bằng bảng sau:
B. Bài tập và các dạng toán
Dạng 1: Nhận dạng hàm số bậc nhất
Cách giải: Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng: $y=ax+b\left( a\ne 0 \right)$
Dạng 2: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số bậc nhất
Cách giải: Xét hàm số bậc nhất $y=ax+b\left( a\ne 0 \right)$
- Đồng biến trên $R$ khi $a>0$
- Nghịch biến trên $R$ khi $a<0$
Dạng 3: Giá trị của hàm số
Cách giải:
Để tính giá trị của hàm số $y=f\left( x \right)$ tại $x=a$ ta thay $x=a$ vào $f\left( x \right)$ và viết là $f\left( a \right)$
III. Bài tập hàm số bậc nhất
Bài tập 1: Các hàm số với biến $x$ dưới đây, hàm số nào là hàm số bậc nhất, hàm số nào không phải, nếu là hàm số bậc nhất chỉ rõ hệ số $a,b$
a) y = 3x + 1
b) $y = 2x + \left( {6 – 2x} \right)$
c) $y = \frac{{1 – 2x}}{4}$
d) $y = – 5x + 3\left( {x – 1} \right)$
e) $y = – \left( {x + 1} \right)\left( {x – 6} \right) + {x^2}$
f) $y = \left( {2x + 5} \right)\left( {x – 6} \right)$
Lời giải
a) y = 3x + 1 là hàm số bậc nhất với
- a = 3
- b = 1
b) Biến đổi
$\begin{array}{l} y = 2x + \left( {6 – 2x} \right)\\ = 2x + 6 – 2x\\ = 6 \end{array}$
c) $y = \frac{{1 – 2x}}{4} = \frac{1}{4} – \frac{2}{4}x = – \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$
Là hàm số bậc nhất với
- $a = – \frac{1}{2}$
- $b = \frac{1}{2}$
d)
$\begin{array}{l} y = – 5x + 3\left( {x – 1} \right)\\ = – 5x + 3x – 3\\ = – 2x – 3x \end{array}$
Là hàm số bậc nhất với
- a = -2
- b = – 3
e) Biến đổi
$\begin{array}{l} y = – \left( {x + 1} \right)\left( {x – 6} \right) + {x^2}\\ = – \left( {{x^2} + x – 6x – 6} \right) + {x^2}\\ = 5x + 6 \end{array}$
Làm hàm số bậc nhất, với:
- a = 5
- b = 6
f)
$\begin{array}{l} y = \left( {2x + 5} \right)\left( {x – 6} \right)\\ = 2{x^2} + 5x – 12x – 30\\ = 2{x^2} – 7x – 30 \end{array}$
Không làm hàm số bậc nhất.
Bài tập 2: Tìm $a,b$ để hàm số sau là hàm số bậc nhất $y=\left( {{a}^{2}}-4 \right){{x}^{2}}+\left( b-3a \right)\left( b+2a \right)x-2$ là hàm số bậc nhất
Lời giải
Hàm số đã cho là hàm số bậc nhất khi
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {a^2} – 4 = 0\\ \left( {b – 3a} \right)\left( {b + 2a} \right) \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} = 4\\ b – 3a \ne 0\\ b + 2a \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \pm 2\\ b \ne 3a\\ b \ne – 2a \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \pm 2\\ b \ne \pm 6\\ b \ne \pm 4 \end{array} \right. \end{array}$
Vậy, để hàm số trên là hàm bậc nhất thì giá trị a, b thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l} a = \pm 2\\ b \ne \pm 6\\ b \ne \pm 4 \end{array} \right.$
Bài tập 3: Các hàm số bậc nhất sau đồng biến hay nghịch biến
a) $y = x + 1$
b) $y = 1 – 9x$
c) $y = \frac{4}{5}x – \frac{1}{2}$
d) $y = \left( {2 – \sqrt 3 } \right)x – \sqrt 3 + 1$
e) $y = \frac{{ – x + 1}}{3}$
Lời giải
a) Hàm số $y = x + 1$ có a = 1 > 0 ⇒ nó là hàm đồng biến
b) Hàm số $y = 1 – 9x$ có a = – 9 < 0 ⇒ nó là hàm nghịch biến
c) $y = \frac{4}{5}x – \frac{1}{2}$ có $a = \frac{4}{5} > 0$⇒ nó là hàm đồng biến
d) $y = \left( {2 – \sqrt 3 } \right)x – \sqrt 3 + 1$ có $a = \left( {2 – \sqrt 3 } \right) > 0$ ⇒ nó là hàm đồng biến
e) $y = \frac{{ – x + 1}}{3} = – \frac{1}{3}.x + \frac{1}{3}$ có $a = – \frac{1}{3} < 0$ < 0 ⇒ nó là hàm nghịch biến
Bài tập 4: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến, không đổi
a) $y = 3\left( {m + 1} \right)x + m – 6$
b) $y = \left( {{m^2} – 4} \right)x + \sqrt 3 {m^2}$
c) $y = 2\left( {1 + 2{m^2}} \right)x + \sqrt {2{m^2} – 1} + 5m – 4$
Lời giải
a) Hàm số $y = 3\left( {m + 1} \right)x + m – 6$ có hệ số a = $3\left( {m + 1} \right)$, ta thấy
- $a > 0 \Leftrightarrow 3\left( {m + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow m > – 1$ ⇒ m > – 1 thì hàm số đồng biến.
- $a < 0 \Leftrightarrow 3\left( {m + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow m < – 1$ ⇒ m < – 1 thì hàm số nghịch biến.
b) Hàm số $y = \left( {{m^2} – 4} \right)x + \sqrt 3 {m^2}$ có hệ số a = ${{m^2} – 4}$, ta thấy
- $a > 0 \Leftrightarrow \left( {{m^2} – 4} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} > 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > 2\\ m < – 2 \end{array} \right.$ ⇒ $\left[ \begin{array}{l} m > 2\\ m < – 2 \end{array} \right.$ thì hàm số đồng biến.
- ${m^2} – 4 < 0 \Leftrightarrow \left( {m – 2} \right)\left( {m + 2} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m < 2\\ m > – 2 \end{array} \right.$ ⇒$\left[ \begin{array}{l} m < 2\\ m > – 2 \end{array} \right.$ thì hàm số nghịch biến.
c) Hàm số $y = 2\left( {1 + 2{m^2}} \right)x + \sqrt {2{m^2} – 1} + 5m – 4$
Trước tiên ta cần m để hàm số y xác định đã.
Ta thấy, để căn thức có nghĩa thì $2m – 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{1}{2}$ (1)
Mặt khác hệ số $a = 1 + 2{m^2} > 0,\,\,\forall m \in R$ nên hàm số luôn đồng biến (không có nghịch biến) (2)
Kết hợp (1) và (2) cho ta thấy: Khi $m \ge \frac{1}{2}$ thì hàm số này luôn đồng biến
Bài tập 5: Hãy chứng mình hàm số sau luôn nghịch biến $y = f(x) = – \left[ {{{\left( {2m + 1} \right)}^2} + 2\left( {2m + 1} \right) + 3} \right]x + m – 5$
Lời giải
Ta thấy hàm số $y = f(x) = – \left[ {{{\left( {2m + 1} \right)}^2} + 2\left( {2m + 1} \right) + 3} \right]x + m – 5$
có hệ số
$\begin{array}{l} y = f(x) = – \left[ {{{\left( {2m + 1} \right)}^2} + 2\left( {2m + 1} \right) + 3} \right]x + m – 5\\ a = – \left[ {{{\left( {2m + 1} \right)}^2} + 2\left( {2m + 1} \right) + 3} \right]\\ = – \left[ {{{\left( {2m + 1} \right)}^2} + 2\left( {2m + 1} \right) + 1 + 2} \right]\\ = – \left[ {{{\left[ {\left( {2m + 1} \right) + 1} \right]}^2} + 2} \right]\\ = – \left[ {{{\left( {2m + 2} \right)}^2} + 2} \right] \end{array}$
Ta thấy hệ số $a = – \left[ {{{\left( {2m + 2} \right)}^2} + 2} \right] < 0,\,\,\forall m \in R$ => Hàm số luôn nghịch biến (ĐPCM)
Bài tập 6: Cho hàm số có dạng y = f(x) = 2x + 1
a) Chứng minh hàm số đồng biến trên tập R.
b) Khi x = 1 thì y có giá trị bao nhiêu?
c) Khi y = 1 thì x có giá trị bao nhiêu?
Lời giải
a) Hàm số y = f(x) = 2x + 1 có hệ số a = 2 > 0 => Hàm số này luôn đồng biến trên tập xác định R.
b) Khi x = 1 thì ta chỉ cần thay giá trị của x vào hàm y như sau
y = f(x) = 2.1 + 1 = 3
kết luận: Khi x = 1 thì y = 3
c) Khi y = 1 thì x ta chỉ cần thay giá trị của y vào hàm y như sau
1 = 2x + 1
⇔ 2x = 0
⇔x = 0
Kết luận: Khi y = 1 thì x = 0
Bài tập 7: Hàm số có dạng $y = f(x) = (5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 )x + \frac{{\sqrt 5 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{5}$
a) Hàm số này đồng biến hay nghịch biến trên R? Tại sao?
b) Hãy xác định giá trị của y nếu x nhận các giá trị sau
- x = 4
- x = 2
- x = $\frac{1}{2}$
- x = $\frac{3}{8}$
- x = – $\frac{2}{8}$
c) Hãy tính giá trị của x nếu y nhận các giá trị sau
- y = $\frac{{\sqrt 5 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{5}$
- y = $5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 $
- y = $\sqrt 5 + \frac{{\sqrt 3 }}{5}$
- y = $\frac{{\sqrt 5 }}{4} + \sqrt 3 $
- y = ${\frac{{5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 }}{2}}$
Lời giải
a) Đây là hàm số bậc nhất và từ biểu thức $y = f(x) = \left( {\frac{{5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 }}{2}} \right)x + \frac{{\sqrt 5 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{5}$
Ta thấy hệ số a = ${\frac{{5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 }}{2}}$ > 0 ⇒ Hàm số này đồng biến trên tập R.
b) Để tìm được giá trị của y thì ta chỉ cần thay x vào biểu thức hàm số trên
Khi x = 4 thì
$\begin{array}{l} y = f(4) = \left( {\frac{{5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 }}{2}} \right).4 + \frac{{\sqrt 5 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{5}\\ = 10\sqrt 3 – 2\sqrt 5 + \frac{{\sqrt 5 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{5}\\ = 10\sqrt 3 – 2\sqrt 5 + \frac{{\sqrt 5 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{5}\\ = – \frac{{3\sqrt 5 }}{2} + \frac{{51\sqrt 3 }}{5} \end{array}$
Khi x = 2 thì
$\begin{array}{l} y = f(2) = \left( {\frac{{5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 }}{2}} \right).2 + \frac{{\sqrt 5 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{5}\\ = 5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 + \frac{{\sqrt 5 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{5}\\ = – \frac{{5\sqrt 5 }}{2} + \frac{{27\sqrt 3 }}{{10}} \end{array}$
Khi x = $\frac{1}{2}$ thì
$\begin{array}{l} y = f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \left( {\frac{{5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 }}{2}} \right).\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 5 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{5}\\ = \frac{{5\sqrt 3 }}{4} – \frac{{3\sqrt 5 }}{4} + \frac{{\sqrt 5 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{5}\\ = \frac{{29\sqrt 3 }}{{20}} – \frac{{11\sqrt 5 }}{{20}} \end{array}$
Khi x = $\frac{3}{8}$ thì
$\begin{array}{l} y = f(\frac{3}{8}) = \left( {\frac{{5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 }}{2}} \right).\frac{3}{8} + \frac{{\sqrt 5 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{5}\\ = \left( {5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 } \right).\frac{3}{{16}} + \frac{{\sqrt 5 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{5}\\ = \frac{{15\sqrt 3 }}{{16}} – \frac{{9\sqrt 5 }}{{16}} + \frac{{\sqrt 5 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{5}\\ = \frac{{91\sqrt 3 }}{{80}} – \frac{{\sqrt 5 }}{{16}} \end{array}$
x = – $\frac{2}{8}$
$\begin{array}{l}
y = f\left( { – \frac{2}{8}} \right) = \left( {\frac{{5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 }}{2}} \right).\left( { – \frac{2}{8}} \right) + \frac{{\sqrt 5 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{5}\\
= – \frac{{5\sqrt 3 }}{8} + \frac{{3\sqrt 5 }}{8} + \frac{{\sqrt 5 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{5}\\
= – \frac{{22\sqrt 3 }}{{15}} + \frac{{7\sqrt 5 }}{8}
\end{array}$
c) Hãy tính giá trị của x nếu y nhận các giá trị sau
Khi y = $\frac{{\sqrt 5 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{5}$ thì:
$\begin{array}{l} \frac{{\sqrt 5 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{5} = \left( {\frac{{5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 }}{2}} \right)x + \frac{{\sqrt 5 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{5}\\ \Leftrightarrow \left( {\frac{{5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 }}{2}} \right)x = 0\\ \Leftrightarrow x = 0 \end{array}$
Khi y = $5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 $ thì:
$\begin{array}{l} 5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 = \left( {\frac{{5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 }}{2}} \right)x + \frac{{\sqrt 5 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{5}\\ \Leftrightarrow \left( {\frac{{5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 }}{2}} \right)x = \frac{{48\sqrt 3 – 35\sqrt 5 }}{{10}}\\ \Leftrightarrow x = \frac{{48\sqrt 3 – 35\sqrt 5 }}{{5\left( {5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 } \right)}} \end{array}$
⇒ Giá trị x tìm được là $x = \frac{{48\sqrt 3 – 35\sqrt 5 }}{{5\left( {5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 } \right)}}$
Khi y = $\sqrt 5 + \frac{{\sqrt 3 }}{5}$ thì:
$\begin{array}{l} \sqrt 5 + \frac{{\sqrt 3 }}{5} = \left( {\frac{{5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 }}{2}} \right)x + \frac{{\sqrt 5 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{5}\\ \Leftrightarrow \left( {\frac{{5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 }}{2}} \right)x = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\\ \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 5 }}{{5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 }} \end{array}$
⇒ Giá trị của x tìm được là $x = \frac{{\sqrt 5 }}{{5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 }}$
Khi y = $\frac{{\sqrt 5 }}{4} + \sqrt 3 $ thì:
$\begin{array}{l} \frac{{\sqrt 5 }}{4} + \sqrt 3 = \left( {\frac{{5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 }}{2}} \right)x + \frac{{\sqrt 5 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{5}\\ \Leftrightarrow \left( {\frac{{5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 }}{2}} \right)x = \frac{{16\sqrt 3 – 5\sqrt 5 }}{{20}}\\ \Leftrightarrow x = \frac{{16\sqrt 3 – 5\sqrt 5 }}{{10.\left( {5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 } \right)}} \end{array}$
⇒ Giá trị của x tìm được là $x = \frac{{16\sqrt 3 – 5\sqrt 5 }}{{10.\left( {5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 } \right)}}$
Khi y = ${\frac{{5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 }}{2}}$ thì:
$\begin{array}{l} \frac{{5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 }}{2} = \left( {\frac{{5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 }}{2}} \right)x + \frac{{\sqrt 5 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{5}\\ \Leftrightarrow \left( {\frac{{5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 }}{2}} \right)x = \frac{{23\sqrt 3 – 20\sqrt 5 }}{{10}}\\ \Leftrightarrow x = \frac{{23\sqrt 3 – 20\sqrt 5 }}{{5.\left( {5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 } \right)}} \end{array}$
⇒ Giá trị của x tìm được là $x = \frac{{23\sqrt 3 – 20\sqrt 5 }}{{5.\left( {5\sqrt 3 – 3\sqrt 5 } \right)}}$
