Hướng dẫn cách giải phương trình bậc 2 – Lớp 9

Ở lớp 9, các bạn và các em đã được học cách giải phương trình bậc 2 một ẩn. Tuy là bài cơ bản nhưng cũng là kiến thức quan trọng bởi thường xuyên sử dụng nếu như chung ta muốn học, muốn giải những bài toán khó hơn ở lớp trên. Biết là vậy nhưng có không ít bạn không nhớ hoặc nhớ không chính xác dẫn tới lúng túng hoặc không giải được ngay cả bài phương trình bậc 2 căn bản. Bởi vậy, nay THCSDH sẽ tòm lược những kiến thức, công thức căn bản cần nhớ, kế tới là hướng dẫn bạn thuần thục giải các bài cơ bản, những dạng bài đặc biệt hay gặp. Cùng với THCSDH bắt đầu thôi nào

A. Lý thuyết giải phương trình bậc 2

Cho phương trình bậc 2 có dạng: ax² + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) (1). Hãy tìm giá trị của x?

Lời giải

Để tìm được x, ta có cách giải tổng quát sau:

Bước 1: Tính Δ = b² – 4ac

Bước 2: Biện luận Δ

• Nếu Δ > 0 thì ta tìm được 2 giá trị của x thỏa mãn (1) là ${x_1} = \frac{{ – b + \sqrt \Delta }}{{2a}};\,{x_2} = \frac{{ – b – \sqrt \Delta }}{{2a}}.$
• Nếu Δ = 0 thì ta tìm được 1 giá trị của x thỏa mãn (1), nó gọi là nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = – \frac{b}{{2a}}$
• Nếu Δ < 0 thì không tìm được giá trị nào của x thỏa mã (1) hay là phương trình vô nghiệm.

Một số trường hợp đặc biệt có thể nhẩm nhanh ra nghiệm của phương trình (1). Đó là:

Trường hợp 1: Khi ta thấy tổng các hệ số bằng không hay a + b + c = 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} = 1\\ {x_2} = \frac{c}{a} \end{array} \right.$

B. Bài tập

Bài tập 1.1: Cho phương trình 2x² + 3x – 5 = 0. Tìm nghiệm x của phương trình.

Lời giải

Ta thấy: a + b + c = 2 + 3 + (- 5) = 0 nên

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} = 1\\ {x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ – 5}}{2} = – 2.5 \end{array} \right.$

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x₁ = 1 và x₂ = – 2,5

Bài tập 1.2: Cho phương trình – 6x² + 100x – 94 = 0. Tìm nghiệm x của phương trình.

Lời giải

Ta thấy: a + b + c = – 6 + 100 + ( – 94) = 0 nên

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} = 1\\ {x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{100}}{{ – 6}} = – \frac{{50}}{3} \end{array} \right.$

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x₁ = 1 và x₂ = $ – \frac{{50}}{3}$

Bài tập 1.3: Hãy tìm nghiệm của phương trình bậc 2 sau: (m – 1)x² + 2x – (m + 1) = 0, với m ≠ 1. Tìm nghiệm x của phương trình.

Lời giải

Ta thấy:

$\begin{array}{l} a + b + c = \left( {m – 1} \right) + 2 + \left[ { – \left( {m + 1} \right)} \right]\\ = \left( {m – 1} \right) + 2 – m – 1\\ = \left( {m – 1} \right) – m + 1\\ = \left( {m – 1} \right) – \left( {m – 1} \right) = 0 \end{array}$

Khi đó phương trình sẽ có 2 nghiệm:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} = 1\\ {x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{100}}{{ – 6}} = – \frac{{50}}{3} \end{array} \right.$

Vậy với m ≠ 1 thì phương trình có 2 nghiệm là $\left[ \begin{array}{l} {x_1} = 1\\ {x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ – \left( {m + 1} \right)}}{{\left( {m – 1} \right)}} \end{array} \right.$

Trường hợp 2: Nếu như các hệ số a, b, c của (1) thỏa mãn a – b + c = 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm dạng:

$\left[ \begin{array}{l} {x_1} = – 1\\ {x_2} = \frac{{ – c}}{a} \end{array} \right.$

Bài tập 2.1: Cho phương trình 3x² + 2x – 1 = 0. Tìm nghiệm x của phương trình.

Lời giải

Ta thấy: a – b + c = 3 – 2 + ( – 1) = 0 nên

$\left[ \begin{array}{l} {x_1} = – 1\\ {x_2} = \frac{{ – \left( { – 1} \right)}}{3} = \frac{1}{3} \end{array} \right.$

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x₁ = – 1 và x₂ = $\frac{1}{3}$

Bài tập 2.2: Cho phương trình – 200x² – 103x + 97 = 0. Tìm nghiệm x của phương trình.

Lời giải

Ta thấy: a – b + c = – 200 – ( – 103) + 97 = 0 nên

$\left[ \begin{array}{l} {x_1} = – 1\\ {x_2} = \frac{{ – 97}}{{200}} \end{array} \right.$

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x₁ = – 1 và x₂ = $\frac{{ – 97}}{{200}}$

Bài tập 2.3: Cho phương trình có dạng như sau: (m² – 1)x² – 4m – (m² + 4m – 1) = 0, với m ≠ ± 1. Tìm nghiệm x của phương trình.

Lời giải

Ta thấy:  a – b + c = (m² – 1) – ( – 4m) – (m² + 4m – 1) = 0, nên

$\left[ \begin{array}{l} {x_1} = – 1\\ {x_2} = \frac{{{m^2} + 4m – 1}}{{{m^2} – 1}} = 1 + \frac{{4m}}{{{m^2} – 1}} \end{array} \right.$

Vậy m ≠ ± 1 phương trình có 2 nghiệm là ${{x_1} = – 1;\,{x_2} = 1 + \frac{{4m}}{{{m^2} – 1}}}$

Trường hợp 3: Sử dụng hệ thức Vi-et

Nếu ta thấy tích a.c < 0 thì phương trình luôn có 2 nghiệm x₁; x₂ thỏa mã $\left\{ \begin{array}{l} S = {x_1} + {x_2} = – \frac{b}{a}\\ P = {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} \end{array} \right.$

Bài tập 3.1: Cho phương trình dạng 3x² – 2x – 5 = 0.

a) Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm

b) Hãy tìm

• tích của 2 nghiệm.
• tổng của 2 nghiệm

Lời giải

a) Ta thấy:  a.c = 3.( – 5) = – 15 < 0 ⇒ Phương trình trên có 2 nghiệm là x₁; x₂

b) Khi đó, theo hệ thức Vi-et ta có tích của 2 nghiệm:

• ${x_1}.{x_2} = \frac{{ – 5}}{3}$
• ${x_1} + {x_2} = – \frac{{ – 2}}{3} = \frac{2}{3}$

Bài tập 3.2: Cho phương trình bậc 2 có dạng: – 2x² + 5x + 11 = 0.

a) Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm

b) Gọi x₁; x₂; lần lượt là 2 nghiệm của phương trình. Hãy tính $y = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}$

Lời giải

a) Ta thấy: a.c = – 2.11 = – 22 < 0 ⇒ Phương trình trên có 2 nghiêm là x₁; x₂

b) Phương trình trên có 2 nghiệm thỏa mã: $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ – b}}{a} = \frac{{ – 5}}{{ – 2}} = \frac{5}{2}\\ {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{11}}{{ – 2}} = – \frac{{11}}{2} \end{array} \right.$

$\begin{array}{l} y = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}\\ = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}.{x_2}}} = \frac{{\frac{5}{2}}}{{ – \frac{{11}}{2}}} = – \frac{5}{{11}} \end{array}$

Bài tập 3.3: Phương trình bậc 2 có dạng: (m + 1)x² + 3mx + (m – 1) = 0 với m ≠ – 1.

a) Biện luận giá trị m để phương trình bậc 2 trên có 2 nghiêm

b) Gọi x₁; x₂; lần lượt là 2 nghiệm của phương trình.

• Hãy rút gọn biểu thức sau $y = \frac{{x_1^2 + x_2^2 + 1}}{{{x_1} + {x_2} + {x_1}.{x_2} + 5}}$
• Nếu m = 1 thì y bằng bao nhiêu

Lời giải

a) Theo hệ thức Vi-et, để phương trình bậc hai trên có 2 nghiệm khi:

a.c = (m + 1)(m – 1) < 0

Hay m² – 1 < 0 ⇔ m² < 1 ⇒ m ∈ ( – 1; 1)

Kết luận: Với m ∈ ( – 1; 1) thì phương trình trên có 2 nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn: $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ – b}}{a} = \frac{{ – \left( {3m} \right)}}{{m + 1}}\\ {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{m – 1}}{{m + 1}} \end{array} \right.$

b) Biến đổi $y = \frac{{x_1^2 + x_2^2 + 1}}{{{x_1} + {x_2} + {x_1}.{x_2} + 5}}$

$ = \frac{{x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 – 2{x_1}{x_2} + 1}}{{{x_1} + {x_2} + {x_1}.{x_2} + 5}}$

$ = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – 2{x_1}{x_2} + 1}}{{{x_1} + {x_2} + {x_1}.{x_2} + 5}}\left( * \right)$

Thay vào biểu thức (*): $y = \frac{{{{\left( { – \frac{{3m}}{{m + 1}}} \right)}^2} – 2.\frac{{m – 1}}{{m + 1}} + 1}}{{ – \frac{{3m}}{{m + 1}} + \frac{{m – 1}}{{m + 1}} + 5}}$

$ = \frac{{\frac{{9{m^2} – 2.\left( {{m^2} – 1} \right) + {{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}}}{{\frac{{\left( {m – 1} \right) – 3m + 5\left( {m + 1} \right)}}{{m + 1}}}}$

$ = \frac{{\frac{{9{m^2} – 2{m^2} + 2 + {m^2} + 2m + {1^2}}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}}}{{\frac{{3m + 4}}{{m + 1}}}}$

$ = \frac{{\frac{{8{m^2} + 2m + 3}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}}}{{\frac{{3m + 4}}{{m + 1}}}}$

$ = \frac{{8{m^2} + 2m + 3}}{{\left( {m + 1} \right)\left( {3m + 4} \right)}}$

$ = \frac{{8{m^2} + 2m + 3}}{{3{m^2} + 7m + 4}}$

Kết luận: Biểu thức rút gọn tối giản nhất là $y = \frac{{8{m^2} + 2m + 3}}{{3{m^2} + 7m + 4}}$

Thay giá trị m = 1 vào biểu thức rút gọn y: $y = \frac{{{{8.1}^2} + 2.1 + 3}}{{{{3.1}^2} + 7.1 + 4}} = \frac{{13}}{{14}}$

C. Bài tập rèn luyện

Bài tập

a) $5{{x}^{2}}-7x=0$

b) $-3{{x}^{2}}+9=0$

c) ${{x}^{2}}-6x+5=0$

d) $3{{x}^{2}}+12x+1=0$

e) $-\sqrt{3}{{x}^{2}}-7x=0$

f) $\frac{-3}{5}{{x}^{2}}-\frac{7}{2}=0$

g) ${{x}^{2}}-x-9=0$

h) $3{{x}^{2}}+6x+5=0$

i) ${{x}^{2}}+2\sqrt{2}x=0$

k) $\left( {{m}^{2}}+2 \right){{x}^{2}}-5=0$ với $m\in R$

l) ${{\left( 2x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}-0,25=0$

m) ${{x}^{2}}-3x+2=0$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $5{{x}^{2}}-7x=0\Leftrightarrow x\left( 5x-7 \right)=0\Leftrightarrow x\in \left\{ 0;\frac{7}{5} \right\}$

b) Ta có: $-3{{x}^{2}}+9=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-9=0\Leftrightarrow 3\left( {{x}^{2}}-3 \right)=0\Leftrightarrow x\in \left\{ \pm \sqrt{3} \right\}$

c) Ta có: ${{x}^{2}}-6x+5=0\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( x-5 \right)=0\Leftrightarrow x\in \left\{ 1;5 \right\}$

d) Ta có: $3{{x}^{2}}+12x+1=0\Leftrightarrow 3{{\left( x+2 \right)}^{2}}=11\Leftrightarrow x=\frac{-6\pm \sqrt{33}}{3}$

e) Ta có: $-\sqrt{3}{{x}^{2}}-7x=0\Leftrightarrow -x\left( \sqrt{3}x+7 \right)=0\Leftrightarrow x\in \left\{ 0;2\sqrt{3} \right\}$

f) Ta có: $\frac{-3}{5}{{x}^{2}}-\frac{7}{2}=0\Leftrightarrow -6{{x}^{2}}-35=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\frac{-35}{6}\Leftrightarrow x\in \varnothing $

g) Ta có: ${{x}^{2}}-x-9=0\Leftrightarrow x\in \left\{ \frac{1\pm \sqrt{37}}{2} \right\}$

h) Ta có:

$\begin{array}{l} 3{x^2} + 6x + 5 = 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} + 2x + \frac{5}{3}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3{\left( {x + 1} \right)^2} + 2 = 0 \end{array}$

(vô lý).

Vậy phương trình vô nghiệm.

i) Ta có

$\begin{array}{l} {x^2} + 2\sqrt 2 x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 2\sqrt 2 } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2\sqrt 2 \end{array} \right. \end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{ 0;2\sqrt{2} \right\}$

k) Ta có

$\begin{array}{l} \left( {{m^2} + 2} \right){x^2} – 5 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} = \frac{5}{{{m^2} + 2}}\\ \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {\frac{5}{{{m^2} + 2}}} \end{array}$

(vì ${{m}^{2}}+2>0$)

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{ \sqrt{\frac{5}{{{m}^{2}}+2}};-\sqrt{\frac{5}{{{m}^{2}}+2}} \right\}$

l) Ta có

$\begin{array}{l} {\left( {2x – \frac{1}{2}} \right)^2} – 0,25 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2x – \frac{1}{2}} \right)^2} = 0,25\\ \Leftrightarrow \left| {2x – \frac{1}{2}} \right| = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x – \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\\ 2x – \frac{1}{2} = – \frac{1}{2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{1}{2}\\ x = 0 \end{array} \right. \end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{ \frac{1}{2};0 \right\}$

m) Ta có

$\begin{array}{l} {x^2} – 3x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} – x – 2x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 2 \end{array} \right. \end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{ 1;2 \right\}$.

Trên dây là toàn bộ kiến thức bài viết chia sẻ về cách giải một phương trình bậc 2 có chứa một ẩn. Nội dung kiến thức gồm

• Lý thuyết
• Công thức nghiệm ứng với tường trường hợp
• Một số trường hợp đặc biệt và cách tìm nghiệm nhanh tương ứng.

Khi các bạn đã hiểu và nhớ rõ lý thuyết cũng như những trường hợp đặc biết trên thì việc giải dạng toán phương trình bậc hai trở nên đơn giản hơn bao giờ hết. Chúc các em học hiệu quả và đón xem bài viết mới nhất bất đẳng thức hình học tiếp theo nhé.