Giải bài toán bằng cách lập phương trình là một phương pháp rất quan trọng và có nhiều lợi ích trong việc giải quyết các vấn đề toán học. Dưới đây là một số lý do tại sao phương pháp này lại quan trọng:
- Hệ thống hóa và rõ ràng: Lập phương trình giúp hệ thống hóa các thông tin và điều kiện của bài toán một cách rõ ràng và logic. Điều này giúp người giải dễ dàng theo dõi và kiểm soát các bước giải.
- Tính chính xác: Phương trình toán học cung cấp một cách tiếp cận chính xác để giải quyết các vấn đề. Khi các điều kiện và mối quan hệ giữa các biến được biểu diễn dưới dạng phương trình, việc giải phương trình sẽ cho ra kết quả chính xác và đáng tin cậy.
- Tính tổng quát: Phương pháp lập phương trình có thể áp dụng cho nhiều loại bài toán khác nhau, từ các bài toán đơn giản đến phức tạp. Điều này giúp người học phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề một cách tổng quát và linh hoạt.
- Giải quyết các bài toán thực tế: Nhiều vấn đề trong cuộc sống hàng ngày và trong các lĩnh vực khoa học, kỹ thuật, kinh tế, v.v. đều có thể được mô hình hóa bằng các phương trình toán học. Việc biết cách lập và giải phương trình giúp chúng ta giải quyết các vấn đề thực tế một cách hiệu quả.
I. Lý Thuyết
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Bước 1: Lập phương trình
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số.
- Biểu diễn các dữ kiện chưa biết qua ẩn số.
- Lập phương trình biểu thị tương quan giữa ẩn số và các dữ kiện đã biết.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: Đôi chiếu nghiệm của phương trình với điều kiện của ẩn số (nếu có) và với đề bài để đưa ra kết luận.
Chú ý: Tuỳ từng bài tập cụ thể mà ta có thể lập phương trình bậc nhất một ẩn, hệ phương trình hay phương trình bậc hai. Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung bài toán và những kiến thức thực tế….
II. Bài tập
Bài 1: Một phân xưởng theo kế hoạch phải dệt 3000 tấm thảm. Trong 8 ngày đầu họ đã thực hiện được đúng kế hoạch, nhũng ngày còn lại họ đã dệt vượt mức mỗi ngày 10 tấm, nên đã hoàn thành kế hoạch trước 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải dệt bao nhiêu tấm?
Lời giải
Gọi số tấm thảm theo kế hoạch phân xưởng phải dệt mỗi ngày là x (tấm/ngày).
Theo kế hoạch, phân xưởng phải hoàn thành 3000 tấm thảm trong t ngày, do đó: x × t = 3000 (1)
Trong 8 ngày đầu, họ đã thực hiện đúng kế hoạch, tức là mỗi ngày dệt x tấm, do đó trong 8 ngày họ đã dệt được: 8 tấm
Những ngày còn lại, họ đã dệt vượt mức mỗi ngày 10 tấm, nên số tấm thảm họ dệt trong mỗi ngày còn lại là x + 10 tấm.
Họ đã hoàn thành kế hoạch trước 2 ngày, tức là tổng số ngày thực hiện là t – 2 ngày. Do đó, số ngày còn lại sau 8 ngày đầu là:
t – 2 – 8 = t – 10 (ngày)
Tổng số tấm thảm họ đã dệt trong những ngày còn lại là: (x + 10) × (t – 10) 7.
Tổng số tấm thảm họ đã dệt trong toàn bộ quá trình là: 8x + (x + 10) × (t – 10)=3000
Bây giờ, ta có hai phương trình: x \times t = 3000 2. 8x + (x + 10) \times (t – 10) = 3000
Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn t theo x: $ t = \frac{3000}{x} $
Thay vào phương trình (2):
$ 8x + (x + 10) \times \left(\frac{3000}{x} – 10\right) = 3000 $
$ 8x + (x + 10) \times \left(\frac{3000 – 10x}{x}\right) = 3000 $
$ 8x + (3000 – 10x + \frac{30000 – 100x}{x}) = 3000 $
$ 8x + 3000 – 10x + 30000/x – 100 = 3000 $
$ -2x + 3000 + 30000/x – 100 = 3000 $
$ -2x + 2900 + 30000/x = 3000 $
$ -2x + 30000/x = 100 $
Nhân cả hai vế với x: $ -2x^2 + 30000 = 100x $
$ -2x^2 – 100x + 30000 = 0 $
Chia cả hai vế cho -2: $ x^2 + 50x – 15000 = 0 $
Giải phương trình bậc hai:
$ x = \frac{200}{2} = 100 \quad \text{(hợp lý)} $
$ x = \frac{-300}{2} = -150 \quad \text{(loại vì không hợp lý với điều kiện ban đầu)} $
Vậy, theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải dệt 100 tấm thảm.
Bài 2: Tháng đầu hai tô sản xuất làm được 720 dụng cụ. Sang tháng 2 tổ 1 làm vượt mức 12%, tổ 2 vượt mức 15% nên cả hai tổ đã làm được 819 dụng cụ. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ làm được bao nhiêu dụng cụ?
Lời giải
Gọi số dụng cụ tổ 1 làm được trong tháng đầu là \( x \).
Gọi số dụng cụ tổ 2 làm được trong tháng đầu là \( y \).
Theo đề bài, ta có các phương trình sau:
Tổng số dụng cụ hai tổ làm được trong tháng đầu là 720: $ x + y = 720 \quad \text{(1)} $
Sang tháng thứ hai, tổ 1 làm vượt mức 12%, tức là tổ 1 làm được \( x + 0.12x = 1.12x \) dụng cụ.
Tổ 2 làm vượt mức 15%, tức là tổ 2 làm được \( y + 0.15y = 1.15y \) dụng cụ.
Tổng số dụng cụ hai tổ làm được trong tháng thứ hai là 819: $ 1.12x + 1.15y = 819 \quad \text{(2)} $
Bây giờ, ta có hệ phương trình: \( x + y = 720 \) 2. \( 1.12x + 1.15y = 819 \) (1)
Giải phương trình (1) để biểu diễn \( y \) theo \( x \): $ y = 720 – x $ (2)
Thay \( y \) vào phương trình (2):
⇔ 1.12x + 1.15(720 – x) = 819
⇔ 1.12x + 828 – 1.15x = 819
⇔ 1.12x – 1.15x + 828 = 819
⇔ -0.03x + 828 = 819
⇔ -0.03x = 819 – 828
⇔ -0.03x = -9
⇔ $x = \frac{-9}{-0.03}$ = 300
Thay \( x = 300 \) vào phương trình \( y = 720 – x \): $ y = 720 – 300 $
$ y = 420 $ Vậy, trong tháng đầu tổ 1 làm được 300 dụng cụ và tổ 2 làm được 420 dụng cụ.
Bài 3. Một nhóm học sinh đi du khảo về nguồn bằng xe đạp từ thành phố Cao Lãnh đến khu căn cứ địa cách mạng Xẻo Quýt cách nhau 24 kilômét (km). Khi trở về thành phố Cao Lãnh, vì ngược gió nên vận tốc trung bình của nhóm học sinh bị giảm 4 km/giờ và thời gian di chuyển từ khu căn cứ địa cách mạng Xẻo Quýt về thành phố Cao Lãnh lâu hơn thời gian di chuyển từ thành phố Cao Lãnh đến khu căn cứ địa cách mạng Xẻo Quýt là 1 giờ. Hãy tính vận tốc trung bình ở lượt đi từ thành phố Cao Lãnh đến khu căn cứ địa cách mạng của nhóm học sinh nói trên.
Lời giải
Để giải bài toán này, ta cần xác định vận tốc trung bình của nhóm học sinh khi đi từ thành phố Cao Lãnh đến khu căn cứ địa cách mạng Xẻo Quýt. Gọi:
- \( v \) là vận tốc trung bình của nhóm học sinh ở lượt đi (km/h).
- \( v – 4 \) là vận tốc trung bình của nhóm học sinh ở lượt về (km/h).
Đặt các biến:
- \( d = 24 \) km là khoảng cách giữa thành phố Cao Lãnh và khu căn cứ địa cách mạng Xẻo Quýt.
- \( t_1 \) là thời gian đi từ thành phố Cao Lãnh đến khu căn cứ địa cách mạng Xẻo Quýt (giờ).
- \( t_2 \) là thời gian đi từ khu căn cứ địa cách mạng Xẻo Quýt về thành phố Cao Lãnh (giờ).
Phương trình thời gian:
- Thời gian đi từ thành phố Cao Lãnh đến khu căn cứ địa cách mạng Xẻo Quýt: $ t_1 = \frac{d}{v} $
- Thời gian đi từ khu căn cứ địa cách mạng Xẻo Quýt về thành phố Cao Lãnh: $ t_2 = \frac{d}{v – 4} $
Điều kiện thời gian:
Thời gian di chuyển từ khu căn cứ địa cách mạng Xẻo Quýt về thành phố Cao Lãnh lâu hơn thời gian di chuyển từ thành phố Cao Lãnh đến khu căn cứ địa cách mạng Xẻo Quýt là 1 giờ: $ t_2 = t_1 + 1 $
Thay các giá trị vào phương trình: $ \frac{24}{v – 4} = \frac{24}{v} + 1 $
Giải phương trình: 1. Nhân cả hai vế với \( v(v – 4) \) để loại bỏ mẫu số:
$ 24v = 24(v – 4) + v(v – 4) $
$ 24v = 24v – 96 + v^2 – 4v $
Đưa các hạng tử về một vế: $ 24v – 24v + 96 = v^2 – 4v $
$ 96 = v^2 – 4v $
Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai: $ v^2 – 4v – 96 = 0 $
Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm:
$ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} $ với \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = -96 \):
$ v = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 384}}{2} $
$ v = \frac{4 \pm \sqrt{400}}{2} $
$ v = \frac{4 \pm 20}{2} $ 5. Kết quả:
$ v_1 = \frac{24}{2} = 12 \text{ km/h} $
$ v_2 = \frac{-16}{2} = -8 \text{ km/h} \quad (\text{loại vì vận tốc không thể âm}) $
Vậy vận tốc trung bình ở lượt đi từ thành phố Cao Lãnh đến khu căn cứ địa cách mạng của nhóm học sinh là 12 km/h..
Tóm lại, việc giải bài toán bằng cách lập phương trình không chỉ là một kỹ năng quan trọng trong toán học mà còn là một công cụ hữu ích trong việc giải quyết các vấn đề thực tế và phát triển tư duy logic.
