Phương pháp giải toán bằng cách lập hệ phương trình là một công cụ mạnh mẽ giúp chúng ta giải quyết nhiều loại bài toán phức tạp trong cả toán học và khoa học tự nhiên. Phương pháp này không chỉ cung cấp các giải pháp chính xác mà còn giúp làm rõ cấu trúc và mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán
1. Hướng dẫn cách lập hệ phương trình
Giải toán bằng cách lập hệ phương trình là một phương pháp rất hiệu quả để giải quyết các bài toán liên quan đến nhiều biến. Dưới đây là một hướng dẫn chi tiết về cách giải toán bằng phương pháp này.
Bước 1: Đọc và Hiểu Đề Bài
- Đọc kỹ đề bài để hiểu rõ các thông tin và yêu cầu của bài toán.
- Xác định các biến số cần tìm.
Bước 2: Đặt Biến
- Đặt các biến (thường là x, y, z,…) để biểu diễn các đại lượng chưa biết trong bài toán.
- Đặt tên các biến sao cho hợp lý và dễ hiểu.
Bước 3: Lập Hệ Phương Trình
- Sử dụng các thông tin và điều kiện trong đề bài để lập các phương trình.
- Mỗi điều kiện sẽ tương ứng với một phương trình.
Bước 4: Giải Hệ Phương Trình
Sử dụng các phương pháp giải hệ phương trình để tìm giá trị của các biến. Các phương pháp thường dùng bao gồm:
Phương pháp thế: Giải một phương trình theo một biến và thế vào phương trình còn lại.
Phương pháp cộng/trừ: Cộng hoặc trừ các phương trình để loại một biến.
Các bạn có thể tìm hiểu thêm các phương pháp giải hệ phương trình
Bước 5: Kiểm Tra và Kết Luận
- Kiểm tra lại các giá trị tìm được xem có thỏa mãn tất cả các phương trình và điều kiện của bài toán không.
- Viết kết luận cho bài toán.
2. Bài tập minh họa
Bài 1. . Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B.
Lời giải
Để giải bài toán này bằng phương pháp lập hệ phương trình, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Bước 1: Đặt Biến
- Gọi \( v \) là vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B (đơn vị: km/h).
- Vận tốc khi đi từ B về A sẽ là \( v + 4 \) km/h.
Bước 2: Lập Phương Trình
- Quãng đường từ A đến B là 24 km.
- Thời gian đi từ A đến B là \( \frac{24}{v} \) giờ.
- Thời gian đi từ B về A là \( \frac{24}{v + 4} \) giờ.
Theo đề bài, thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút, tức là 0.5 giờ. Do đó, ta có phương trình: $ \frac{24}{v} – \frac{24}{v + 4} = 0.5 $
Bước 3: Giải Hệ Phương Trình
Giải phương trình trên:
$ \frac{24}{v} – \frac{24}{v + 4} = 0.5 $
Đưa về mẫu số chung:
$ \frac{24(v + 4) – 24v}{v(v + 4)} = 0.5 $
$ \frac{24v + 96 – 24v}{v(v + 4)} = 0.5 $
$ \frac{96}{v(v + 4)} = 0.5 $
Nhân cả hai vế với \( 2v(v + 4) \):
$ 96 \times 2 = v(v + 4) $
$ 192 = v^2 + 4v $
Chuyển vế và sắp xếp lại:
$ v^2 + 4v – 192 = 0 $
Giải phương trình bậc hai:
Vậy: $ v = \frac{24}{2} = 12 \quad \text{(chấp nhận)} $
$ v = \frac{-32}{2} = -16 \quad \text{(loại vì vận tốc không thể âm)} $
Bước 4: Kết Luận
Vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B là 12 km/h.
Bài 2: Quãng đường AB dài 120 km. lúc 7h sang một xe máy đi từ A đến B. Đi được 3/4 xe bị hỏng phải dừng lại 10 phút để sửa rồi đi tiếp với vận tốc kém vận tốc lúc đầu 10km/h. Biết xe máy đến B lúc 11h40 phút trưa cùng ngày. Giả sử vận tốc xe máy trên 3/4 quãng đường đầu không đổi và vận tốc xe máy trên 1/4 quãng đường sau cũng không đổi. Hỏi xe máy bị hỏng lúc mấy giờ.
Lời giải
Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định thời gian xe máy bị hỏng dựa trên các thông tin về quãng đường, vận tốc, và thời gian dừng lại sửa chữa.
Đề bài
- Quãng đường AB dài 120 km.
- Lúc 7h sáng, một xe máy đi từ A đến B.
- Đi được \(\frac{3}{4}\) quãng đường thì xe bị hỏng và phải dừng lại 10 phút để sửa chữa, sau đó đi tiếp với vận tốc kém vận tốc lúc đầu 10 km/h.
- Xe máy đến B lúc 11h40 phút trưa cùng ngày.
Các bước giải
- Gọi v là vận tốc ban đầu của xe máy (km/h).
- Tính thời gian xe máy đi được \(\frac{3}{4}\) quãng đường đầu tiên.
- Tính thời gian xe máy đi được \(\frac{1}{4}\) quãng đường còn lại với vận tốc giảm.
- Tính tổng thời gian và xác định thời gian xe máy bị hỏng.
Bước 1: Thiết lập phương trình
Gọi v là vận tốc ban đầu của xe máy.
Quãng đường đầu tiên xe máy đi được là: $ \frac{3}{4} \times 120 = 90 \text{ km} $
Quãng đường còn lại xe máy đi là: $ \frac{1}{4} \times 120 = 30 \text{ km} $
Bước 2: Tính thời gian đi quãng đường đầu tiên
Thời gian đi quãng đường đầu tiên với vận tốc v: $ t_1 = \frac{90}{v} \text{ giờ} $
Bước 3: Tính thời gian đi quãng đường còn lại
Vận tốc sau khi sửa chữa là \( v – 10 \) km/h.
Thời gian đi quãng đường còn lại: $ t_2 = \frac{30}{v – 10} \text{ giờ} $
Bước 4: Tính tổng thời gian
Tổng thời gian đi từ A đến B là từ 7h sáng đến 11h40 phút trưa, tức là 4 giờ 40 phút (4.67 giờ).
Tổng thời gian bao gồm thời gian đi và thời gian sửa chữa: $ t_1 + t_2 + \frac{10}{60} = 4.67 $
Bước 5: Giải phương trình $ \frac{90}{v} + \frac{30}{v – 10} + \frac{1}{6} = 4.67 $
Trừ đi \(\frac{1}{6}\) từ 4.67: $ \frac{90}{v} + \frac{30}{v – 10} = 4.67 – \frac{1}{6} $
$ \frac{90}{v} + \frac{30}{v – 10} = 4.5 $
Bước 6: Giải phương trình bậc hai
Nhân cả hai vế với \( v(v – 10) \): $ 90(v – 10) + 30v = 4.5v(v – 10) $
$ 90v – 900 + 30v = 4.5v^2 – 45v $
$ 120v – 900 = 4.5v^2 – 45v $
$ 4.5v^2 – 165v + 900 = 0 $
Chọn nghiệm dương: v = 30 km/h
Bước 7: Tính thời gian xe máy bị hỏng
Chúng ta đã tìm được vận tốc ban đầu của xe máy là 30 km/h. Bây giờ chúng ta sẽ tính thời gian xe máy đi được 90 km đầu tiên và xác định thời gian xe máy bị hỏng.
Bước 8: Tính thời gian đi 90 km đầu tiên
Vận tốc ban đầu \( v = 30 \) km/h.
Thời gian đi 90 km đầu tiên: $ t_1 = \frac{90}{30} = 3 \text{ giờ} $
Bước 9: Xác định thời gian xe máy bị hỏng
Xe máy bắt đầu đi lúc 7h sáng. Thời gian đi 90 km đầu tiên là 3 giờ, do đó xe máy bị hỏng lúc:
$ 7:00 + 3:00 = 10:00 $
Bước 10: Kiểm tra lại thời gian tổng cộng
Sau khi bị hỏng, xe máy dừng lại 10 phút để sửa chữa, tức là \( \frac{10}{60} = \frac{1}{6} \) giờ.
Vận tốc sau khi sửa chữa là \( 30 – 10 = 20 \) km/h.
Thời gian đi 30 km còn lại:
$ t_2 = \frac{30}{20} = 1.5 \text{ giờ} $
Tổng thời gian
Tổng thời gian từ 7h sáng đến 11h40 phút trưa là 4 giờ 40 phút (4.67 giờ).
Thời gian tổng cộng bao gồm:
$ t_1 + t_2 + \frac{1}{6} = 3 + 1.5 + \frac{1}{6} $
$ = 3 + 1.5 + 0.167 $
$ = 4.667 \text{ giờ} $
Kết luận: Xe máy bị hỏng lúc 10:00 sáng.
Bài 3. Một công ty dự định điều động một số xe để chuyển 180 tấn hàng từ cảng Dung Quất vào thành phố Hồ Chí Minh, mỗi xe chở khối lượng hàng như nhau. Nhưng do nhu cầu thực tế cần chuyển thêm 28 tấn hàng nên công ty đó phải điều động thêm một xe cùng loại và mỗi xe bây giờ phải chở thêm 1 tấn hàng mới đáp ứng được nhu cầu đặt ra. Hỏi theo dự định công ty đó cần điều động bao nhiêu xe? Biết rằng mỗi xe không chở quá 15 tấn.
Lời giải
Để giải bài toán này, chúng ta cần thiết lập các phương trình dựa trên các thông tin được cung cấp. Gọi \( x \) là số xe dự định ban đầu và \( y \) là khối lượng hàng mỗi xe chở ban đầu.
Bước 1: Thiết lập phương trình ban đầu
Theo dự định ban đầu, tổng khối lượng hàng là 180 tấn, do đó: $ x \cdot y = 180 $
Bước 2: Thiết lập phương trình sau khi tăng thêm hàng
Khi tăng thêm 28 tấn hàng, tổng khối lượng hàng là 208 tấn. Công ty điều động thêm 1 xe và mỗi xe chở thêm 1 tấn hàng, do đó:
$ (x + 1) \cdot (y + 1) = 208 $
Bước 3: Giải hệ phương trình
Chúng ta có hai phương trình:
- \( x \cdot y = 180 \)
- \( (x + 1) \cdot (y + 1) = 208 \)
Mở rộng phương trình thứ hai: $ (x + 1)(y + 1) = xy + x + y + 1 = 208 $
Thay thế \( xy = 180 \) vào phương trình: $ 180 + x + y + 1 = 208 $
$ x + y + 181 = 208 $
$ x + y = 27 $
Bước 4: Giải hệ phương trình
Từ \( x \cdot y = 180 \) và \( x + y = 27 \), chúng ta có hệ phương trình:
- \( x \cdot y = 180 \)
- \( x + y = 27 \)
Giải phương trình thứ hai để tìm \( y \): $ y = 27 – x $
Thay vào phương trình thứ nhất: $ x \cdot (27 – x) = 180 $
$ 27x – x^2 = 180 $
$ x^2 – 27x + 180 = 0 $
Bước 5: Giải phương trình bậc hai
Giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng công thức nghiệm: $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} $
Ở đây \( a = 1 \), \( b = -27 \), và \( c = 180 \):
$ x = \frac{27 \pm \sqrt{27^2 – 4 \cdot 1 \cdot 180}}{2 \cdot 1} $
$ x = \frac{27 \pm \sqrt{729 – 720}}{2} $
$ x = \frac{27 \pm \sqrt{9}}{2} $
$ x = \frac{27 \pm 3}{2} $
Do đó, chúng ta có hai nghiệm:
- $ x = \frac{30}{2} = 15 $
- $ x = \frac{24}{2} = 12 $
Bước 6: Kiểm tra điều kiện
Với \( x = 12 \): y = 27 – 12 = 15
Điều này không thỏa mãn điều kiện mỗi xe không chở quá 15 tấn.
Với \( x = 15 \): y = 27 – 15 = 12
Điều này thỏa mãn điều kiện.
Kết luận: Theo dự định, công ty cần điều động 15 xe để chuyển hàng.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Trên quãng đường AB dài 210 m , tại cùng một thời điểm một xe máy khởi hành từ A đến B và một ôt ô khởi hành từ B đi về A . Sauk hi gặp nhau xe máy đi tiếp 4 giờ nữa thì đến B và ô tô đi tiếp 2 giờ 15 phút nữa thì đến A . Biết rằng vận tốc ô tô và xe máy không thay đổi trong suốt chặng đường. Tính vận tốc của xe máy và ô tô.
Bài 2. Hai tỉnh A,B cách nhau 180km/h. Cùng một lúc, ô tô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B về A. Hai xe gặp nhau ở thị trấn C. Từ C đến B ô tô đi hết 2 giờ, còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc của ô tô và xe máy biết rằng trên đường AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi.
Bài 3. Hai bạn A và B cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 6 ngày. Hỏi nếu A làm một mình 3 ngày rồi nghỉ thì B hoàn thành nốt công việc trong thời gian bao lâu? Biết rằng nếu làm một mình xong công việc thì B làm lâu hơn A là 9 ngày.
