Đồng quy là một khái niệm quan trọng trong hình học, đặc biệt là đối với các học sinh lớp 9. Dưới đây là một giải thích chi tiết và dễ hiểu về khái niệm này:
Đồng quy là gì?
Đồng quy là khi ba hoặc nhiều đường thẳng cắt nhau tại cùng một điểm. Điểm chung đó được gọi là điểm đồng quy.
Ví dụ trong tam giác
Trong tam giác, có nhiều trường hợp các đường thẳng đồng quy:
- Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm gọi là trọng tâm.
- Ba đường phân giác của tam giác đồng quy tại một điểm gọi là tâm đường tròn nội tiếp.
- Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm gọi là trực tâm.
- Ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp.
Cách chứng minh đồng quy
Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
- Phương pháp tọa độ: Đặt các điểm trên mặt phẳng tọa độ và sử dụng phương trình đường thẳng để chứng minh chúng cắt nhau tại một điểm duy nhất.
- Phương pháp hình học: Sử dụng các tính chất hình học và các định lý như định lý Ceva hoặc định lý Menelaus.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giả sử bạn có tam giác \(ABC\) với các đường trung tuyến \(AD\), \(BE\), và \(CF\) (D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB).
– Trọng tâm \(G\) của tam giác là điểm đồng quy của ba đường trung tuyến này.
– Để chứng minh, ta có thể sử dụng định lý Ceva: Nếu ba đường thẳng \(AD\), \(BE\), và \(CF\) đồng quy, thì:
$ \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1 $
Do D, E, F là trung điểm của các cạnh, ta có: $ \frac{BD}{DC} = 1, \quad \frac{CE}{EA} = 1, \quad \frac{AF}{FB} = 1 $
Vậy: $ 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 $
Điều này chứng tỏ rằng ba đường trung tuyến đồng quy tại một điểm.
Ví dụ 2: Trên hình vẽ bên, cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng:
a) EFGH là hình bình hành.
b) Các đường thẳng AC, BD, EF, GH đồng quy.
Lời giải
a) Chứng minh rằng EG = HF; EH = GF.
b) Gọi O là giao điểm của AC và EF. Tứ giác AECF có AE = CF, AE // CF nên là hình bình hành.
Suy ra O là trung điểm của AC, EF.
- ABCD là hình bình hành, O là trung điểm của AC nên O là trung điểm của BD.
- EGHF là hình bình hành, O là trung điểm của EF nên O là trung điểm của GH.
Vậy AC, BD, EF, GH đồng quy tại O.
Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng \(xx’\) và \(yy’\) cắt nhau tại \(O\). Trên tia \(Ox\) lấy hai điểm \(A, B\) sao cho \(A\) nằm giữa \(O\) và \(B\), \(AB = 20A\). Trên \(yy’\) lấy hai điểm \(L\) và \(M\) sao cho \(O\) là trung điểm của đoạn \(LM\). Nối \(B\) với \(L\), \(B\) với \(M\) và gọi \(P\) là trung điểm của đoạn \(MB\), \(Q\) là trung điểm của đoạn \(LB\). Chứng minh rằng các đoạn thẳng \(LP\) và \(MQ\) đi qua \(A\).
Lời giải
Ta có \(O\) là trung điểm của đoạn \(LM\). Suy ra \(BO\) là đường trung tuyến của \(\Delta BLM\) (1).
Mặt khác \(BO = BA + AO\) vì \(A\) nằm giữa \(O\) và \(B\) hay \(OB = 20A + 0.4 = 30A\).
Suy ra \(BA = \frac{2}{3} BO\) (2).
Từ (1), (2) suy ra \(A\) là trọng tâm của \(\Delta BLM\).
Mà \(LP\) và \(MQ\) là các đường trung tuyến của \(\Delta BLM\) (vì \(P\) là trung điểm \(MB\) và \(O\) là trung điểm của đoạn \(LM\)).
Suy ra các đoạn thẳng \(LP\) và \(MQ\) đi qua \(A\) (theo tính chất ba đường trung tuyến).
Ví dụ 4: Trong một buổi tổng vệ sinh sân trường, 3 tổ cần dọn cỏ và rác của 3 bồn cây \(A, B, C\) ở 3 góc sân trường. Em hãy giúp 3 tổ chọn một vị trí \(O\) để đặt chiếc xe đẩy rác sao cho vị trí chiếc xe cách đều 3 bồn cây đó.
Lời giải:
Vì điểm \(O\) cách đều ba điểm \(A, B, C\) nên \(O\) là giao của ba đường trung trực của tam giác \(ABC\) hay \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Để xác định vị trí điểm \(O\) ta chỉ cần xác định giao điểm của hai trong ba đường trung trực của tam giác \(ABC\).
Ví dụ 5: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(M\) không trùng với \(A\) và \(C\). Vẽ đường tròn đường kính \(MC\), cắt cạnh \(BC\) tại \(D\). Các đường thẳng \(BM\) và \(AD\) lần lượt cắt đường tròn tại các điểm \(E, F\). Chứng minh rằng:
a) \(ABC \sim ADMC\). Suy ra \(AB \cdot MC = BC \cdot DM\).
b) Các tứ giác \(ABDM\) và \(AECBD\) nội tiếp.
c) \(\angle ABM = \angle EF\).
d) Các đường thẳng \(AB, CE, MD\) đồng quy.
Lời giải
a) Vì \(\angle BAC = \angle MDC = 90^\circ\) và \(\angle BCA\) chung nên \(\triangle ABC \sim \triangle ADMC\).
Do đó \(\frac{AB}{DM} = \frac{BC}{MC} \Rightarrow AB \cdot MC = BC \cdot DM\).
b) Vì \(\angle BAM + \angle MDB = 180^\circ\) nên tứ giác \(AMDB\) nội tiếp.
Vì \(\angle BAC = \angle BEC = 90^\circ\) nên tứ giác \(AECBD\) nội tiếp.
c) Ta có: \(\angle ABM = \angle ADM\) (cùng chắn \(\widehat{AM}\))
\(\angle MEF = \angle ADM\) (cùng chắn \(\widehat{MF}\))
Suy ra \(\angle ABM = \angle MEF \Rightarrow AB \parallel EF\).
d) Giả sử \(AB\) cắt \(EC\) tại \(I\). Ta có \(C4, BE\) là đường cao của tam giác \(BIC\).
\(\Rightarrow M\) là trực tâm của \(BIC \Rightarrow IM \perp BC\).
Mà \(MD \perp BC \Rightarrow I, M, D\) thẳng hàng. Vậy \(AB, EC, MD\) đồng quy tại \(M\).
Ví dụ 6: Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). Gọi \(G\) là trọng tâm, \(I\) là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh ba điểm \(A, G, I\) thẳng hàng.
Lời giải
Gọi \(M, N\) là trung điểm \(CA\) và \(BA\).
\(\triangle ABC\) cân tại \(A\) có \(BM, CN\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(AC, AB\) \(\Rightarrow BM = CN\).
Mà \(GB = \frac{2}{3}BM; GC = \frac{2}{3}CN\) (Tính chất trọng tâm của tam giác) \(\Rightarrow GB = GC\).
Xét \(\triangle AGB\) và \(\triangle AGC\) có:
– \(AG\) chung
– \(AB = AC\) (do \(\triangle ABC\) cân tại \(A\))
– \(GB = GC\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow \triangle AGB = \triangle AGC\) (c – c – c)
\(\Rightarrow \angle BAG = \angle CAG\) (hai góc tương ứng)
\(\Rightarrow G\) thuộc tia phân giác của \(\angle BAC\).
Theo đề bài \(I\) cách đều ba cạnh của tam giác \(\Rightarrow I\) là điểm chung của ba đường phân giác.
\(\Rightarrow I\) thuộc tia phân giác của \(\angle BAC\).
Vì \(G, I\) cùng thuộc tia phân giác của \(\angle BAC\) nên \(A, G, I\) thẳng hàng.
Ví dụ 7. Cho \(\triangle ABC\) cân tại \(A\). Dựng tam giác \(BCD\) cân tại \(D\) biết \(D\) khác phía với \(A\) đối với đường thẳng \(BC\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AB\) và \(AC\). Chứng minh rằng \(A, O, D\) thẳng hàng.
Lời giải:
\(\triangle ABC\) cân tại \(A \Rightarrow AB = AC\).
\(\triangle BCD\) cân tại \(D \Rightarrow DB = DC\).
Suy ra \(AD\) là đường trung trực của \(BC\).
Xét \(\triangle ABC\), theo tính chất ba đường trung trực trong tam giác ta có các đường trung trực của \(AB\) và \(AC\) đồng quy với đường thẳng \(AD\), hay \(A, O, D\) thẳng hàng.
Ví dụ 8. Hai đường tròn \((O; R)\) và \((O’; r)\) tiếp xúc ngoài tại \(C\) \((R > r)\). Gọi \(AC\) và \(BC\) là hai đường kính đi qua \(C\) của đường tròn \((O)\) và \((O’)\). \(DE\) là dây cung của đường tròn \((O)\) vuông góc với \(AB\) tại trung điểm \(M\) của \(AB\). Tia \(DC\) cắt đường tròn \((O’)\) tại điểm thứ 2 là \(F\).
a) Tứ giác \(ADBE\) là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh ba điểm \(B, F, E\) thẳng hàng.
c) \(DB\) cắt đường tròn \((O’)\) tại điểm thứ hai là \(G\). Chứng minh \(DF, EG\) và \(AB\) đồng quy.
d) Chứng minh \(MF\) là tiếp tuyến của \((O’)\).
Lời giải
a) Tứ giác \(ADBE\) là hình thoi vì \(AM = MB; MD = ME\) và \(DE \perp AB\).
b) Ta có \(BE \parallel DA\). Nối \(BF\) ta có \(\angle ADF = \angle BFD = 90^\circ \Rightarrow BF \parallel DA\).
Như vậy \(BE \parallel DA\) và \(BF \parallel DA\) mà qua \(B\) chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với \(DA\) do đó 3 điểm \(B, F, E\) phải thẳng hàng.
c) Ta có \(CG\) vuông góc với \(DB\), mặt khác \(EC\) vuông góc với \(DB\).
Nhưng qua \(C\) chỉ tồn tại duy nhất một đường vuông góc với \(DB\) nên \(E, C, G\) phải thẳng hàng và \(DF, EG, AB\) phải đồng quy tại điểm \(C\), chính là trực tâm tam giác \(EDB\).
d) Nhận thấy \(\angle MEF = \angle F_1\) và \(\angle O’BF = \angle F_2\) mà \(\angle MEF + \angle O’BF = 90^\circ\)
nên \(\angle F_1 + \angle F_2 = 90^\circ\), suy ra \(\angle MFO’ = 90^\circ\).
Vậy \(MF\) là tia tiếp tuyến của đường tròn tâm \(O’\).
