Chuyên đề về dạng toán quỹ tích là một phần quan trọng trong chương trình học toán ôn thi vào 10, đặc biệt là trong các bài toán hình học. Dưới đây là một chuyên đề chi tiết về dạng toán quỹ tích, bao gồm lý thuyết cơ bản, các dạng bài tập phổ biến và ví dụ minh họa.
I. Lý Thuyết quỹ tích
1. Quỹ tích là gì?
Quỹ tích là tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn một điều kiện hoặc một tập hợp các điều kiện nhất định. Nói cách khác, đó là đường hoặc vùng mà các điểm di chuyển theo một quy tắc nhất định.
2. Các quỹ tích cơ bản
– Đường tròn: Quỹ tích của các điểm cách đều một điểm cố định (tâm) một khoảng cách nhất định (bán kính).
– Đường thẳng: Quỹ tích của các điểm nằm trên một đường thẳng cố định.
– Đường trung trực: Quỹ tích của các điểm cách đều hai điểm cố định.
II. Các Dạng Bài Tập Quỹ Tích
1. Quỹ tích các điểm cách đều một điểm cố định
Ví dụ: Tìm quỹ tích của các điểm cách đều điểm \(A\) một khoảng \(R\).
Giải
Quỹ tích là một đường tròn tâm \(A\) bán kính \(R\).
2. Quỹ tích các điểm cách đều hai điểm cố định
Ví dụ: Tìm quỹ tích của các điểm cách đều hai điểm \(A\) và \(B\).
Giải
Quỹ tích là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\).
3. Quỹ tích các điểm có khoảng cách đến một đường thẳng cố định bằng khoảng cách đến một điểm cố định
Ví dụ:
Tìm quỹ tích của các điểm có khoảng cách đến đường thẳng \(d\) bằng khoảng cách đến điểm \(A\).
Giải
Quỹ tích là một đường parabol.
III. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tìm quỹ tích của các điểm cách đều điểm \(O\) một khoảng \(R\).
Giải
Quỹ tích là một đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\).
Ví dụ 2: Bài toán: Tìm quỹ tích của các điểm cách đều hai điểm \(A\) và \(B\).
Giải
Quỹ tích là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\).
Ví dụ 3: Tìm quỹ tích của các điểm \(M\) sao cho khoảng cách từ \(M\) đến một điểm cố định \(F\) bằng khoảng cách từ \(M\) đến một đường thẳng cố định \(d\).
Giải
Quỹ tích là một đường parabol với tiêu điểm \(F\) và đường chuẩn là \(d\).
Ví dụ 4: Cho nữa đường tròn đường kính $BC$ trên nữa đường tròn lấy điểm $A$ ( Khác $B,C$) . Kẻ $AH$ vuông góc với $BC(H\in BC)$. Trên cung $AC$ lấy điểm $D$ bất kỳ (khác $A,C)$. Đường thẳng $BD$ cắt $AH$ tại điểm $I.$Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AID$ luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi $D$ thay đổi trên cung $AC$.
Lời giải
Ta có:$\widehat{BDC}={{90}^{0}},$ $\widehat{BAH}=\widehat{ACB}$
cùng phụ với góc $\widehat{B}$. Mặt khác $\widehat{ADB}=\widehat{ACB}$(cùng chắn cung $AB$)
Suy ra $\widehat{BAI}=\widehat{ADI}$ suy ra $AB$ là tiếp tuyến của
đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADI$. Mặt khác $AC$ cố định $AC\bot AB$ nên tâm $K$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADI$ luôn thuộc đường thẳng $AC$.
Ví dụ 5: Cho đường tròn $\left( O \right)$ và dây cung $BC$ cố định. Gọi $A$ là điểm di động trên cung lớn $BC$ của đường tròn $\left( O \right)$ ($A$ khác $B$, $A$ khác $C$). Tia phân giác của $\widehat{ACB}$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại điểm$D$ khác điểm $C$. Lấy điểm $I$ thuộc đoạn $CD$sao cho \[\text{D}I=DB\]. Đường thẳng $BI$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại điểm $K$ khác điểm $B$.
a) Chứng minh rằng tam giác $KAC$ cân.
b) Chứng minh đường thẳng $AI$ luôn đi qua một điểm $J$ cố định.
c) Trên tia đối của tia $AB$ lấy điểm $M$ sao cho $AM=AC$. Tìm quỹ tích các điểm $M$ khi $A$ di động trên cung lớn $BC$ của đường tròn $\left( O \right)$.
Lời giải
a) Ta có $\widehat{DBK}=\frac{1}{2}\left( \text{sd}\overset\frown{DA}+\text{s}\overset\frown{AK} \right);\text{sd}\widehat{DIB}=\frac{1}{2}\left( \text{sd}\overset\frown{BD}+\text{sd}\overset\frown{KC} \right)$. Vì $\text{s}\overset\frown{BD}+\text{s}\overset\frown{DA}$ và $\Delta DBI$ cân tại $D$ nên $\text{s}\overset\frown{KC}+\text{s}\overset\frown{AK}$. Suy ra $AK=CK$ hay $\Delta KAC$ cân tại $K$ (đpcm).
b) Từ kết quả câu a, ta thấy $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ nên đường thẳng $AI$ luôn đi qua điểm $J$ (điểm chính giữa của cung $\overset\frown{BC}$ không chứa $A$). Rõ ràng $J$ là điểm cố định.
c). Phần thuận: Do $\Delta AMC$ cân tại $A$, nên $\widehat{BMC}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}$. Giả sử số đo $\widehat{BAC}$ là $2\alpha $ (không đổi) thì khi $A$ di động trên cung lớn $BC$ thì $M$ thuộc cung chứa góc $\alpha $ dựng trên đoạn $BC$ về phía điểm $O$.
Phần đảo: Tiếp tuyến $Bx$ với đường tròn $\left( O \right)$ cắt cung chứa góc $\alpha $ vẽ trên đoạn $BC$ tại điểm $X$. Lấy điểm $M$ bất kỳ trên $\overset\frown{Cx}$ (một phần của cung chứa góc $\alpha $và vẽ trên đoạn $BC\left( M\#X;M\#C \right)$. Nếu $MB$cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại $A$ thì rõ ràng $A$ thuộc cung lớn $BC$ của đường tròn $\left( O \right)$.
Vì $\widehat{BAC}=2\alpha ;\widehat{AMC}=\alpha $ suy ra $\Delta AMC$ cân tại $A$ hay $AC=AM$. Kết luận: Quỹ tích các điểm $M$ là cung $\overset\frown{Cx}$, một phần của cung chứa góc $\alpha $ vẽ trên đoạn $BC$ về phía $O$ trừ hai điểm $C$ và $X$.
IV. Bài Tập Vận Dụng
1. Tìm quỹ tích của điểm \(M\) di động sao cho khoảng cách từ \(M\) đến điểm \(A\) luôn bằng 5 cm.
– Gợi ý: Quỹ tích là một đường tròn tâm \(A\) bán kính 5 cm.
2. Tìm quỹ tích của điểm \(M\) di động sao cho khoảng cách từ \(M\) đến điểm \(A\) bằng khoảng cách từ \(M\) đến điểm \(B\).
– Gợi ý: Quỹ tích là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\).
3. Tìm quỹ tích của điểm \(M\) di động sao cho khoảng cách từ \(M\) đến một đường thẳng \(d\) luôn bằng 3 cm.
– Gợi ý: Quỹ tích là hai đường thẳng song song với \(d\) và cách \(d\) một khoảng 3 cm.
4. Tìm quỹ tích của điểm \(M\) di động sao cho khoảng cách từ \(M\) đến điểm \(A\) bằng khoảng cách từ \(M\) đến một đường thẳng \(d\).
– Gợi ý: Quỹ tích là một đường parabol với tiêu điểm là \(A\) và đường chuẩn là \(d\).
Kết Luận
Quỹ tích là một khái niệm quan trọng trong hình học, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về các hình dạng và cách chúng được tạo ra từ các điều kiện nhất định
