Trong bài thi hình học trong đề thi tuyển sinh vào 10 của các sở giáo dục, sẽ có những bài toán bất đẳng thức hình học, đây là dạng toán khó mà ban tuyển sinh ở mỗi sở dùng để phân loại học sinh đầu vào.
Vậy trước tiên ta cần trả lời câu hỏi: Bất đẳng thức hình học là gì?
Là một khái niệm mô tả mối quan hệ không bằng nhau giữ các đại lượng hình học. Thông qua bất đẳng thức hình học, chúng ta có thể so sánh các độ dài, diện tích, thể tích và các thuộc tính hình học khác của các hình học khác nhau. Các bất đẳng thức hình học thường được sử dụng trong lĩnh vực hình học Euclid và hình học không gian. Chúng giúp chúng ta đưa ra những phát biểu chính xác về mối quan hệ không gian và hình dạng, và đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh và giải quyết các vấn đề hình học phức tạp.
Mong muốn giúp thầy cô giáo và học sinh THCS có tài liệu hay, đầy đủ nhất về dạng toán này. THCSDH giới thiệu đến mọi người bài viết “Rèn luyện giải Bất đẳng thức hình học” . Xuyên suốt bài viết này, THCSDH cố gắng nêu bật ý tưởng sáng tạo các hệ thức hình học,cách xây dựng nên những bất đẳng thức hình học và có ví dụ minh họa chi tiết.
Bài viết dưới đây sẽ hệ thống lý thuyết quan trọng để học sinh có thể rèn luyện kỹ năng giải dạng bất đẳng thức hình học này hiệu quả. Hãy nắm vững kiến thức đã học trong những năn học Toán THCS để phục vụ cho lời giải nhé! Chúc các em đạt kết quả cao trong học tập!
A. Lý thuyết bất đẳng thức hình học
1. Sử dụng tính chất hình học cơ bản
Bất đẳng thức hình học liên hệ giữa độ dài các cạnh một tam giác.
| AB – AC| < BC < AB + BC
Chú ý rằng:
- Với 3 điểm A, B, C bất kỳ ta luôn có: AB + BC ≥ AC. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm A, C.
- Với 3 điểm A, B, C bất kỳ ta luôn có: |AB – AC| ≤ BC. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm A, C.
- Cho hai điểm A, B nằm về một phía đường thẳng (d). Điểm M chuyển động trên đường thẳng (d). Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (d). Ta có kết quả sau:
MA + MB = MA′ + MB ≥ A′B .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm cuả A′B và đường thẳng (d).( M trùng với ${{M}_{0}}$)
|MA − MB| ≤ AB. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm cuả AB và đường thẳng (d)( M trùng với ${{M}_{1}}$).
- Cho hai điểm A,B nằm về hai phía đường thẳng (d). Điểm M chuyển động trên đường thẳng (d). Gọi A′ là điểm đối xứng với A qua (d). Ta có kết quả sau:
$MA+MB\ge AB$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $M$ là giao điểm cuả $AB$ và đường thẳng $(d)$.( $M$ trùng với ${{M}_{0}}$)
$\left| MA-MB \right|=\left| MA’-MB \right|\le A’B$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $M$ là giao điểm cuả $A’B$ và đường thẳng $(d)$( $M$ trùng với ${{M}_{1}}$).
- Trong quá trình giải toán ta cần lưu ý tính chất: Đường vuông góc luôn nhỏ hơn hoặc bằng đường xiên.
Trong hình vẽ: $AH\le AB$
2. Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất
3. Tính chất đường tròn đặc biệt
Cho đường tròn $(O;R)$ và một điểm $A$. Đường thẳng $AO$ cắt đường tròn tại hai điểm ${{M}_{1}},{{M}_{2}}$. Giả sử $A{{M}_{1}}\le A{{M}_{2}}$. Khi đó với mọi điểm $M$ nằm trên đường tròn ta luôn có: $A{{M}_{1}}\le AM\le AM{{}_{2}}$
B. Bài tập
Bài tập 1: Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ nằm trong tam giác . Chứng minh rằng:
a) $MB+MC<AB+AC$
b) $\frac{1}{2}\left( AB+BC+CA \right)<MA+MB+MC<AB+BC+CA$
c) $BM+MN+NC<AB+AC$ trong đó điểm $N$ nằm trong tam giác sao cho $MN$ cắt hai cạnh $AB,AC$
Lời giải
Bài tập 2: Cho tam giác $ABC$ và 3 trung tuyến $AM,BN,CP$. Chứng minh rằng:
a) $\frac{AB+AC-BC}{2}<AM<\frac{AB+AC}{2}$
b) $\frac{3\left( AB+BC+CA \right)}{4}<AM+BN+CP<AB+BC+CA$
c) Giả sử $AB\ge AC$. Gọi $AD,AM$ theo thứ tự là đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:
$\frac{AB+AC-BC}{2}<AD\le AM<\frac{AB+AC}{2}$
Lời giải
$\begin{array}{l} \Rightarrow BD > PD = CD\\ \Rightarrow BM < BD\\ \Rightarrow MH > DH\\ \Rightarrow AM > AD \end{array}$
Bài tập 3: Cho tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm là điểm $H$. Chứng minh rằng: $HA+HB+HC<\frac{2}{3}\left( AB+BC+CA \right)$
Lời giải
Dựng đường thẳng qua $H$ song song với $AB$ cắt $AC$ tại $D$. Dựng đường thẳng qua $H$song song $AC$ cắt $AB$ tại $E$. Tứ giác $AEHD$ là hình bình hành nên $AD=HE,AE=HD$
Xét tam giác $AHD$ ta có: $HA<HD+AD\Leftrightarrow HA<AE+AD$(1) .
Vì $HE//AC$ mà $AC\bot BH\Rightarrow HE\bot BH$. Trong tam giác vuông $HBE$ ta có: $HB<BE$ (2) Tương tự ta có: $HC<DC$ (3).
Cộng các bất đẳng thức cùng chiều $(1),(2),(3)$ ta suy ra $HA+HB+HC<(AE+EB)+(AD+DC)=AB+AC$
Tương tự ta cũng có: $HA+HB+HC<AC+BC,HA+HB+HC<AB+BC$
Suy ra $HA+HB+HC<\frac{2}{3}\left( AB+BC+CA \right)$.
Bài tập 4. Cho tam giác đều $ABC$có cạnh bằng $3a$. $M$ là một điểm tùy ý trên cạnh $BC$, gọi $P,Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $AB,AC$. Tìm vị trí điểm $M$ để:
a) $PQ$ có độ dài nhỏ nhất
b) Dựng một đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB,AC$ tại $E,F$ sao cho $AE=2a$.Tìm vị trí điểm $M$ sao cho $MA+ME+MF$ nhỏ nhất.
Lời giải
b) Gọi $R$ là điểm đối xứng với $E$ qua $BC$, $I$ là trung điểm của $BC$. Ta dễ chứng minh được $R,I,F$ thẳng hàng.
Ta tính đươc.: $RF=2IF=2\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \frac{1}{3}.\frac{3a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{7}a$.
Ta có: $ME+MF=MR+MF\ge RF=a\sqrt{7}$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $M\equiv I$.
Ta cũng có $MA\ge AI=\frac{3a\sqrt{3}}{2}$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $M\equiv I$.
Suy ra $ME+MF+MA\ge a\sqrt{7}+\frac{3a\sqrt{3}}{2}=\left( \frac{2\sqrt{7}+3\sqrt{3}}{2} \right)a$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $M\equiv I.$
Bài tập 5: Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Một đường thẳng Δ thay đổi quanh A cắt (O; R) tại hai điểm M, N. Tìm vị trí Δ để AM + AN lớn nhất.
Lời giải
Gọi $K$ là trung điểm của dây cung $MN$
Ta có:
$AM+AN=AM+(AM+MN)$
$=2AM+2MK=2AK$
Xét tam giác vuông $OKA$
Ta có: $O{{K}^{2}}+K{{A}^{2}}=O{{A}^{2}}$ không đổi . Như vậy $AK$ lớn nhất khi và chỉ khi $OK$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow OK=0\Leftrightarrow A,M,N,O$ nhỏ nhất.
Bài tập 6: Cho đường tròn $(O;R)$ và dây cung $AB$ cố định $(AB<2R)$. Trên cung lớn $AB$ lấy điểm $M$. Tìm vị trí điểm $M$ để chu vi tam giác $MAB$ lớn nhất.
Lời giải
Tam giác $MBN$ cân tại $M$ nên $MJ$ là đường trung trực của $BN$.
Từ đó ta có: $JA=JB=JN$.
Hay điểm $N$ thuộc đường tròn tâm $J$ cố định bán kính $JA$.
Vì $AN$ là dây cung của đường tròn $\left( J \right)$ nên $AN$ lớn nhất khi và chỉ khi $AN$ là đường kính của $\left( J \right)$$\Leftrightarrow M\equiv J$.
Như vậy chu vi tam giác $MAB$ lớn nhất khi và chỉ khi $M$ trùng với trung điểm $J$ của cung nhỏ $AB$.
Bài tập 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D,E,F lần lượt là tiếp điểm của $\left( O \right)$ với các cạnh AB,AC,BC; M là điểm di chuyển trên đoạn CE. Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF của $\left( O \right)$, P và Q lần lượt là hình chiếu của N trên các đường thẳng DE,DF. Xác định vị trí của điểm M để PQ lớn nhất.
Lời giải
Bài tập 7: Cho hai đường tròn $({{O}_{1}};{{R}_{1}}),({{O}_{2}};{{R}_{2}})$ cắt nhau tại 2 điểm $A,B$. Một đường thẳng $(d)$ bất kỳ qua $A$ cắt $({{O}_{1}};{{R}_{1}}),({{O}_{2}};{{R}_{2}})$ lần lượt tại $M,N$. Tiếp tuyến tại $M$ của $({{O}_{1}};{{R}_{1}})$ và tiếp tuyến tại $N$ của $({{O}_{2}};{{R}_{2}})$ cắt nhau tại $I$. Tìm giá trị lớn nhất của bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $IMN$ khi $(d)$ quay quanh $A$.
Lời giải
Suy ra $\widehat{MIN}={{180}^{0}}-\widehat{MBN}$ không đổi.
Gọi $R$ bán kính vòng tròn ngoại tiếp tam giác $MIN$ thì
$\begin{array}{l} MN = 2R.\sin \widehat {MIN}\\ \Rightarrow R = \frac{{MN}}{{2\sin \widehat {MIN}}} \end{array}$
Do đó $R$ lớn nhất khi và chỉ khi $MN$ lớn nhất.
Gọi $E,F$ là hình chiếu vuông góc của ${{O}_{1}},{{O}_{2}}$ lên $(d)$ , $K$ là hình chiếu vuông góc của ${{O}_{1}}$ lên ${{O}_{2}}F$ thì $MN=2\text{EF}=2{{O}_{1}}K\le 2{{O}_{1}}{{O}_{2}}$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $EF//{{O}_{1}}{{O}_{2}}\Leftrightarrow (d)//{{O}_{1}}{{O}_{2}}$.
Bài tập 8: Cho hình thoi ABCD. Đường chéo AC không nhỏ hơn đường chéo BD. M là một điểm tùy ý trên AC. Đường thẳng qua M song song với AB cắt AD tại E, cắt BC tại GĐường thẳng qua M song song với AD cắt AB tại Fcắt CD tại H. Biết hình thoi ABCD có độ dài hai đường chéo là ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$. Xác định M sao cho chu vi tứ giác EFGH là nhỏ nhất?Tính chu vi đó theo ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$.
Lời giải
Nhưng $LJ=LM+MJ=\frac{1}{2}AC\Rightarrow 2p\ge AC+BD$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi FG // AC ⇔ FGHE là hình chữ nhật
Tức điểm M ≡ O là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi ABCD
Đây là tài liệu dành cho các em học sinh giỏi, học sinh muốn đạt điểm tuyệt đối trong bài thi tuyển sinh vào lớp 10 tới đây. Hy vọng rằng, với những chia sẻ ở trên các em đã hiểu lý thuyết cặn kẽ cũng như có những cách giải dạng toán này mỗi khi gặp. Vẫn biết không thể giải hết các bài tuy nhiên khi gặp những dạng toán trên thì bắt buộc các em phải làm được. Chúc các em học tốt dạng toán này và xem dạng hàm số bậc nhất.
