Trong buổi hôm trước các em được học bài rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, đây là bài lý thuyết căn bản hỗ trợ ta làm bài tập rút gọn biểu thức này hiệu quả hơn. Nếu em nào chưa xem có thể quay lai xem bài hôm trước còn đã xem thì chúng ta vào phần bài tập của ngày hôm nay. Thcsdongkhoi sẽ chia sẻ và sắp xếp các bài tập từ căn bản tới nâng cao để các em tiện học, tra cữu và bài viết logic hơn.
Chúng ta bắt đầu vào bài tập đầu tiên
Bài tập 1. Hãy rút gọn biểu thức sau
a) $\sqrt {20} – \sqrt {80} + \sqrt {45} $
b) $\sqrt {18} – \sqrt {50} + \sqrt {98} $
c) $\sqrt {4,5} – \frac{1}{2}\sqrt {72} + 5\sqrt {\frac{1}{2}} $
d) $40\sqrt {\frac{{25}}{6}} – 10\sqrt {\frac{3}{2}} – 12\sqrt {\frac{{98}}{3}} $
Lời giải
a) $\begin{array}{l} \sqrt {20} – \sqrt {80} + \sqrt {45} \\ = \sqrt {{2^2}.5} – \sqrt {{4^2}.5} + \sqrt {{3^2}.5} \\ = \sqrt {{2^2}} .\sqrt 5 – \sqrt {{4^2}} .\sqrt 5 + \sqrt {{3^2}} .\sqrt 5 \\ = 2.\sqrt 5 – 4.\sqrt 5 + 3.\sqrt 5 \\ = \sqrt 5 \end{array}$
Kết Luận: Kết quả rút gọn là $\sqrt 5 $
b)Ta có
$\begin{array}{l} \sqrt {18} – \sqrt {50} + \sqrt {98} \\ = \sqrt {{3^2}.2} – \sqrt {{5^2}.2} + \sqrt {{7^2}.2} \\ = \sqrt {{3^2}} .\sqrt 2 – \sqrt {{5^2}} .\sqrt 2 + \sqrt {{7^2}} .\sqrt 2 \\ = 3.\sqrt 2 – 5\sqrt 2 + 7.\sqrt 2 \\ = 5\sqrt 2 \end{array}$
Kết quả rút gọn của biểu thức $5\sqrt 2 $
c) Từ biểu thức ta có
$\begin{array}{l} \sqrt {4,5} – \frac{1}{2}\sqrt {72} + 5\sqrt {\frac{1}{2}} \\ = \sqrt {\frac{9}{2}} – \frac{1}{2}\sqrt {36.2} + 5\sqrt {\frac{1}{2}} \\ = \sqrt {\frac{9}{4}.2} – \frac{1}{2}\sqrt {36.2} + 5\sqrt {\frac{1}{4}.2} \\ = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}.2} – \frac{1}{2}\sqrt {{6^2}.2} + 5\sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}.2} \\ = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} .\sqrt 2 – \frac{1}{2}\sqrt {{6^2}} .\sqrt 2 + 5\sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} .\sqrt 2 \\ = \frac{3}{2}.\sqrt 2 – \frac{6}{2}.\sqrt 2 + \frac{5}{2}.\sqrt 2 \\ = \sqrt 2 \end{array}$
Kết quả là: $\sqrt 2 $
d) Ta biến đổi
$\begin{array}{l} A = 40\sqrt {\frac{{25}}{6}} – 10\sqrt {\frac{3}{2}} – 12\sqrt {\frac{{98}}{3}} \\ = 40\sqrt {\frac{{25.6}}{{{6^2}}}} – 10\sqrt {\frac{{3.2}}{{{2^2}}}} – 12\sqrt {\frac{{98.3}}{{{3^2}}}} \\ = 40\sqrt {\frac{{{5^2}.6}}{{{6^2}}}} – 10\sqrt {\frac{6}{{{2^2}}}} – 12\sqrt {\frac{{{7^2}.2.3}}{{{3^2}}}} \\ = 40\sqrt {{{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^2}.6} – 10\sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}.6} – 12\sqrt {{{\left( {\frac{7}{3}} \right)}^2}.6} \\ = 40\sqrt {{{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^2}} .\sqrt 6 – 10\sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} .\sqrt 6 – 12\sqrt {{{\left( {\frac{7}{3}} \right)}^2}} .\sqrt 6 \\ = 40.\frac{5}{6}.\sqrt 6 – 10.\frac{1}{2}.\sqrt 6 – 12.\frac{7}{3}.\sqrt 6 \\ = \frac{{100}}{3}.\sqrt 6 – 5.\sqrt 6 – 28.\sqrt 6 \\ = \frac{{\sqrt 6 }}{3} \end{array}$
Kết quả: $\frac{{\sqrt 6 }}{3}$
Bài tập 2. Rút gọn biểu thức có chứa ẩn sau
a) $M = 2x\sqrt {16x{y^3}} + 7\sqrt {25{x^3}{y^3}} – 3y\sqrt {36{x^3}y} $ với $x \ge 0;\,y \ge 0$
b) $P = \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt {xy} – x}} – \frac{{\sqrt x }}{{y – \sqrt {xy} }}$
c) $P = \left( {\frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x – 1}} – \frac{{3\sqrt x – 1}}{{1 – x}}} \right) \cdot \left( {\frac{2}{{\sqrt x }} – \frac{2}{x}} \right)$
Lời giải
a) Từ biểu thức
$\begin{array}{l} M = 2x\sqrt {16x{y^3}} + 7\sqrt {25{x^3}{y^3}} – 3y\sqrt {36{x^3}y} \\ = 2x\sqrt {{{\left( {4y} \right)}^2}.xy} + 7\sqrt {{{\left( {5xy} \right)}^2}.xy} – 3y\sqrt {{{\left( {6x} \right)}^2}.xy} \\ = 2x\sqrt {{{\left( {4y} \right)}^2}} .\sqrt {xy} + 7\sqrt {{{\left( {5xy} \right)}^2}} .\sqrt {xy} – 3y\sqrt {{{\left( {6x} \right)}^2}} .\sqrt {xy} \\ = 2x.\left| {4y} \right|.\sqrt {xy} + 7.\left| {5xy} \right|.\sqrt {xy} – 3y.\left| {6x} \right|.\sqrt {xy} \end{array}$
Theo đề bài: x ≥ 0; y ≥ 0 cho nên
$\begin{array}{l} M = 2x.4y.\sqrt {xy} + 7.5xy.\sqrt {xy} – 3y.6x.\sqrt {xy} \\ = 8xy.\sqrt {xy} + 35xy.\sqrt {xy} – 18xy.\sqrt {xy} \\ = 25xy.\sqrt {xy} \end{array}$
Kết luận: Biểu thức rút gọn bằng: $M = 25xy.\sqrt {xy} $
b) Điều kiện x > 0; y > 0 và x ≠ y
Khi đó
P = $\frac{{\sqrt y }}{{\sqrt {xy} – x}} – \frac{{\sqrt x }}{{y – \sqrt {xy} }}$
$ = \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt {xy} – \sqrt {{x^2}} }} – \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {{y^2}} – \sqrt {xy} }}$
$ = \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt x \left( {\sqrt y – \sqrt x } \right)}} – \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt y \left( {\sqrt y – \sqrt x } \right)}}$
$ = \frac{{{{\left( {\sqrt y } \right)}^2} – {{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}}{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt y – \sqrt x } \right)}}$
$ = \frac{{\sqrt y + \sqrt x }}{{\sqrt {xy} }}$
Kết Luận: $P = \frac{{\sqrt y + \sqrt x }}{{\sqrt {xy} }}$
c) Điều kiện là x > 0 và x ≠ 1
Lúc này ta biến đổi biểu thức
$ = \left( {\frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x – 1}} – \frac{{3\sqrt x – 1}}{{{1^2} – {{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}}} \right) \cdot \left( {\frac{2}{{\sqrt x }} – \frac{2}{x}} \right)$
$ = \left( {\frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x – 1}} + \frac{{3\sqrt x – 1}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} – {1^2}}}} \right) \cdot \left( {\frac{2}{{\sqrt x }} – \frac{2}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}}} \right)$
$ = \left( {\frac{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x – 1} \right) + 2\sqrt x .\left( {\sqrt x + 1} \right) + 3\sqrt x – 1}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} – {1^2}}}} \right) \cdot \left( {\frac{{2\sqrt x – 2}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}}} \right)$
$ = \left( {\frac{{\sqrt {{x^2}} – 2\sqrt x + 1 + 2\sqrt {{x^2}} + 2\sqrt x + 3\sqrt x – 1}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} – {1^2}}}} \right) \cdot \left( {\frac{{2\left( {\sqrt x – 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}}} \right)$
$ = \left( {\frac{{3\sqrt {{x^2}} + 3\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} – {1^2}}}} \right) \cdot \left( {\frac{{2\left( {\sqrt x – 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}}} \right)$
$ = \left( {\frac{{3\left( {\sqrt x + 1} \right).\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} – {1^2}}}} \right) \cdot \left( {\frac{{2\left( {\sqrt x – 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}}} \right)$
$ = \left( {\frac{{6.\sqrt x .\left[ {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} – {1^2}} \right]}}{{\left( {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} – {1^2}} \right).{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}}} \right)$
$ = \frac{6}{{\sqrt x }}$
Đáp án: $P = \frac{6}{{\sqrt x }}$
Bài tập 3. Cho biểu thức $P = \left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{{x – 1}} – \frac{{\sqrt x – 2}}{{x – 2\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{4x}}{{{{(x – 1)}^2}}}$
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P, biết | x – 5 | = 4.
Lời giải
a) Để biểu thức có nghĩa thì $\left\{ \begin{array}{l} x – 1 \ne 0\\ x \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ x \ge 0 \end{array} \right.$
Khi x thỏa mãn điều kiện trên ta có:
$P = \left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{{x – 1}} – \frac{{\sqrt x – 2}}{{x – 2\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{4x}}{{{{(x – 1)}^2}}}$
$ = \left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} – {1^2}}} – \frac{{\sqrt x – 2}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} – 2\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{4x}}{{{{(x – 1)}^2}}}$
$ = \left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} – {1^2}}} – \frac{{\sqrt x – 2}}{{{{\left( {\sqrt x – 1} \right)}^2}}}} \right):\frac{{4x}}{{{{(x – 1)}^2}}}$
$ = \left( {\frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x – 1} \right) – \left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right){{\left( {\sqrt x – 1} \right)}^2}}}} \right):\frac{{4x}}{{{{(x – 1)}^2}}}$
$ = \left( {\frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x – 1} \right) – \left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right){{\left( {\sqrt x – 1} \right)}^2}}}} \right):\frac{{4x}}{{{{(x – 1)}^2}}}$
$ = \left( {\frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} – 2 + \sqrt x – \left( {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} – \sqrt x – 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right){{\left( {\sqrt x – 1} \right)}^2}}}} \right):\frac{{4x}}{{{{(x – 1)}^2}}}$
$ = \frac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right){{\left( {\sqrt x – 1} \right)}^2}}}:\frac{{4x}}{{{{(x – 1)}^2}}}$
$ = \frac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right){{\left( {\sqrt x – 1} \right)}^2}}}.\frac{{{{(x – 1)}^2}}}{{4x}}$
$ = \frac{{2\sqrt x }}{{\left( {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} – 1} \right)\left( {\sqrt x – 1} \right)}}.\frac{{{{(x – 1)}^2}}}{{4x}}$
$ = \frac{{2\sqrt x }}{{\left( {x – 1} \right)\left( {\sqrt x – 1} \right)}}.\frac{{{{(x – 1)}^2}}}{{4{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}}$
$ = \frac{{x – 1}}{{2\sqrt x \left( {\sqrt x – 1} \right)}}$
$ = \frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} – 1}}{{2\sqrt x \left( {\sqrt x – 1} \right)}}$
$ = \frac{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{2\sqrt x \left( {\sqrt x – 1} \right)}}$
$ = \frac{{\sqrt x + 1}}{{2\sqrt x }}$
$ = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\sqrt x }}{{2x}}$
Kết luận: Sau khi rút gọn ta được: $P = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\sqrt x }}{{2x}}$
b) Theo đề | x – 5 | = 4
Trường hợp 1: $x – 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 5$
Thì x – 5 = 4 ⇔x = 9. Luc này ta thay giá trị của x vào biểu thức P
$P = \frac{{\left( {\sqrt 9 + 1} \right)\sqrt 9 }}{{2.9}}$
$ = \frac{{\left( {\sqrt {{3^2}} + 1} \right)\sqrt {{3^2}} }}{{2.9}}$
$ = \frac{{\left( {3 + 1} \right).3}}{{2.9}}$
$ = \frac{2}{3}$
Trường hợp 2: $x – 5 < 0 \Leftrightarrow x < 4$
Thì – (x – 5) = 4 ⇔x = 1. Luc này ta thay giá trị của x vào biểu thức P:
$P = \frac{{\left( {\sqrt 1 + 1} \right)\sqrt 1 }}{{2.1}}$ = 1
Trên đây là toàn bộ bài viết chia sẻ về hướng dẫn cách giải bài tập rút gọn biểu thức. Bằng cách xem kĩ lý thuyết và giải nhiều bài tạp tương tự ta có thể thuần thục dạng toan này.
